求lim _(xarrow +infty )x(sqrt ({x)^2+1}-x)

考查要点：本题主要考查无穷小量的等价替换和极限运算技巧，特别是处理形如$\infty \cdot 0$型不定式的化简方法。

解题核心思路：
当直接代入导致$\infty \cdot 0$型不定式时，需通过变形消除不稳定性。常用方法包括有理化或泰勒展开近似。本题的关键是将$\sqrt{x^2+1}$展开为$x$的多项式形式，利用等价无穷小替换简化表达式。

破题关键点：

1. 将$\sqrt{x^2+1}$表示为$x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$，并应用二项式展开近似$\sqrt{1+h} \approx 1+\frac{h}{2}$（当$h \to 0$时）。
2. 通过代数变形将原式转化为可直接计算的极限形式。

步骤1：表达式变形
原式为：
$\lim _{x\rightarrow +\infty }x(\sqrt {{x}^{2}+1}-x)$
将$\sqrt{x^2+1}$改写为$x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$，得：
$\lim _{x\rightarrow +\infty }x\left(x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}} - x\right)$

步骤2：提取公因子$x$
将$x$提取到括号外：
$\lim _{x\rightarrow +\infty }x^2\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}} - 1\right)$

步骤3：应用等价无穷小替换
当$x \to +\infty$时，$\dfrac{1}{x^2} \to 0$，根据泰勒展开：
$\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}} \approx 1 + \dfrac{1}{2x^2}$
因此：
$\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}} - 1 \sim \dfrac{1}{2x^2}$

步骤4：代入并计算极限
将等价无穷小代入原式：
$\lim _{x\rightarrow +\infty }x^2 \cdot \dfrac{1}{2x^2} = \dfrac{1}{2}$