题目
2.5 设随机变量X的分布列为P(X=k)=a(lambda^k)/(k!)(lambda>0)(k=0,1,2,...),求a.
2.5 设随机变量X的分布列为
$P(X=k)=a\frac{\lambda^{k}}{k!}(\lambda>0)(k=0,1,2,\cdots)$,
求a.
题目解答
答案
根据概率分布的性质，所有可能取值的概率之和等于1。因此，有：
\[
\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = \sum_{k=0}^{\infty} a \frac{\lambda^k}{k!} = 1
\]
提取常数 $a$：
\[
a \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = 1
\]
利用指数函数的泰勒展开式 $e^{\lambda} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}$，得：
\[
a e^{\lambda} = 1
\]
解得：
\[
a = e^{-\lambda}
\]
**答案：** $\boxed{e^{-\lambda}}$
解析
考查要点：本题主要考查概率分布的归一化条件以及指数函数的泰勒展开式的应用。
解题核心思路：
根据概率分布的基本性质，所有可能取值的概率之和必须等于1。因此，需要将给定的分布列求和并解方程，从而确定常数$a$的值。
破题关键点：
- 归一化条件：$\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = 1$。
- 识别级数形式：将求和式与指数函数的泰勒展开式$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{\lambda}$联系起来。
根据概率分布的归一化条件，所有可能取值的概率之和为1：
$\sum_{k=0}^{\infty} P(X=k) = \sum_{k=0}^{\infty} a \frac{\lambda^k}{k!} = 1$
提取常数$a$：
$a \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = 1$
利用指数函数的泰勒展开式：
已知$e^{\lambda} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}$，代入得：
$a e^{\lambda} = 1$
解方程求$a$：
$a = e^{-\lambda}$