(3)(int )_(0)^a(x)^2sqrt ({a)^2-(x)^2}dx(agt 0);

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是利用三角替换法处理含有根号的积分，以及运用三角恒等式简化积分表达式。

解题核心思路：
当被积函数中出现$\sqrt{a^2 - x^2}$时，通常采用三角替换，令$x = a \sin t$，将根号内的表达式转化为$\cos t$，从而简化积分。随后利用三角恒等式将高次幂的三角函数转化为容易积分的形式。

破题关键点：

1. 变量替换：选择$x = a \sin t$，确定积分上下限变化为$t \in [0, \frac{\pi}{2}]$。
2. 化简被积函数：将$\sin^2 t \cos^2 t$转化为$\frac{1}{4} \sin^2 2t$，再进一步用$\frac{1 - \cos 4t}{2}$展开。
3. 分部积分：分别计算常数项和余弦项的积分，注意上下限代入后的结果。

变量替换与化简

1. 令$x = a \sin t$，则$dx = a \cos t \, dt$，当$x$从$0$到$a$时，$t$从$0$到$\frac{\pi}{2}$。
2. 原积分变为：
   $\int_{0}^{a} x^2 \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (a \sin t)^2 \cdot a \cos t \cdot a \cos t \, dt = a^4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \cos^2 t \, dt$

应用三角恒等式

3. 利用恒等式$\sin^2 t \cos^2 t = \frac{1}{4} \sin^2 2t$，积分变为：
   $a^4 \cdot \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 2t \, dt = \frac{a^4}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 2t \, dt$
4. 进一步化简$\sin^2 2t = \frac{1 - \cos 4t}{2}$，得：
   $\frac{a^4}{4} \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 4t) \, dt = \frac{a^4}{8} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 4t) \, dt$

分部积分

5. 分项积分：
   $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dt = \frac{\pi}{2}, \quad \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 4t \, dt = \left. \frac{\sin 4t}{4} \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 0$
6. 代入结果：
   $\frac{a^4}{8} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = \frac{\pi a^4}{16}$