2. 设函数y=y(x)由方程y-xe^y=1确定，求(d^2y)/(dx^2)|_(x=0)的值.A. e^2B. 2e^2C. 2e

本题考查由方程确定的隐函数的二阶导数在特定点的值，核心是通过通过隐函数求导。

步骤1：求一阶导数$\frac{dy}{dx}$

给定方程 $y - xe^y = 1$，两边对$x$求导：

• 对$y$求导得：$\frac{dy}{dx}$
• 对$-xe^y$求导（乘积法则）：$-[e^y + x e^y \cdot \frac{dy}{dx}]$（因$e^y$对$x$求导为$e^y \frac{dy}{dx}$）
• 常数1的导数为0

整理得：
$\frac{dy}{dx} - e^y - x e^y \frac{dy}{dx} = 0$
解出$\frac{dy}{dx}$：
$\frac{dy}{dx}(1 - x e^^) = e^$ \frac{dy}{dx} = \frac{e^y}{1 - x e^y} \quad (1简化) $## **步骤2：求二阶导数$\frac{d^2y}{dx^2}$** 对$\frac{dy}{dx} = \frac{e^y}{1 - x e^y}$使用商法则： 若$u=e^y$，$v=1数，则$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ - $u' = e^y \frac{dy}{dx}$（$e^y$对$x$求导） - $v' = -[e^y + x e^y \frac{dy}{dx}]$（与步骤1中$-xe^y$的导数相同） 代入商法则：$ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{(e^y \frac{dy}{dx})(1 - x e^y) - (e^y)(-e^y - x e^y \frac{dy}{dx})}{(1 - x e^y)^2} $## **步骤3：代入$x=0$计算** 当$x=0$时，代入代入原方程$y - 0 \cdot e^y =1$得$y=1$。 ### **计算一阶导数在$x=0$的值**$ \left.\frac{dy}{dx}\right|{x=0} = \frac{e^1}{1 - 0 \cdot e^1} = e $### **计算二阶导数在$x=0$的值** 将$x=0$，$y=1$，$\frac{dy}{dx}=e$代入二阶导数表达式： - 分子：$(e^1 \cdot e)(1 - 0) - (e^1)(-e^1 - 0) = e \cdot 1 + e \cdot e = e + e^2 = 2e^2$ - 分母：$(1 - 0)^2 =1$ 故$ \left.\frac{d^2y}{dx^2}\right|{x=0} = 2e^2$$