题目
已知两个非零向量a与b，定义|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b的夹角，若a=(−3,4)，b=(0,2)，则|a×b|的值为（ ）A.−8B.−6C.8D.6
已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹角，若，，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
D
解析
步骤 1：计算向量a的模
向量a的模|a|可以通过公式|a| = √(x² + y²)计算，其中x和y是向量a的坐标。对于a=(−3,4)，我们有|a| = √((-3)² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。
步骤 2：计算向量b的模
向量b的模|b|同样通过公式|b| = √(x² + y²)计算，其中x和y是向量b的坐标。对于b=(0,2)，我们有|b| = √(0² + 2²) = √4 = 2。
步骤 3：计算向量a与b的夹角θ
向量a与b的夹角θ可以通过公式cosθ = (a·b) / (|a||b|)计算，其中a·b是向量a与b的点积。对于a=(−3,4)和b=(0,2)，我们有a·b = (−3)×0 + 4×2 = 8。因此，cosθ = 8 / (5×2) = 8 / 10 = 0.8。由此，θ = arccos(0.8)。
步骤 4：计算|a×b|
根据定义|a×b| = |a||b|sinθ，我们已经知道|a| = 5，|b| = 2，θ = arccos(0.8)。因此，sinθ = √(1 - cos²θ) = √(1 - 0.8²) = √(1 - 0.64) = √0.36 = 0.6。所以，|a×b| = 5×2×0.6 = 6。
向量a的模|a|可以通过公式|a| = √(x² + y²)计算，其中x和y是向量a的坐标。对于a=(−3,4)，我们有|a| = √((-3)² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。
步骤 2：计算向量b的模
向量b的模|b|同样通过公式|b| = √(x² + y²)计算，其中x和y是向量b的坐标。对于b=(0,2)，我们有|b| = √(0² + 2²) = √4 = 2。
步骤 3：计算向量a与b的夹角θ
向量a与b的夹角θ可以通过公式cosθ = (a·b) / (|a||b|)计算，其中a·b是向量a与b的点积。对于a=(−3,4)和b=(0,2)，我们有a·b = (−3)×0 + 4×2 = 8。因此，cosθ = 8 / (5×2) = 8 / 10 = 0.8。由此，θ = arccos(0.8)。
步骤 4：计算|a×b|
根据定义|a×b| = |a||b|sinθ，我们已经知道|a| = 5，|b| = 2，θ = arccos(0.8)。因此，sinθ = √(1 - cos²θ) = √(1 - 0.8²) = √(1 - 0.64) = √0.36 = 0.6。所以，|a×b| = 5×2×0.6 = 6。