11、单选 设L是由点(1,0)沿上半圆周x^2+y^2=1到点(0,1)的弧段，则曲线积分int_(L)((3y-x)dx+(y-3x)dy)/((x+y)^3)=

为了求解曲线积分 $\int_{L} \frac{(3y-x)dx + (y-3x)dy}{(x+y)^3}$，其中 $L$ 是由点 $(1,0)$ 沿上半圆周 $x^2 + y^2 = 1$ 到点 $(0,1)$ 的弧段，我们可以使用格林公式。格林公式指出，对于一个 positively oriented, piecewise-smooth, simple closed curve $C$ 和一个平面区域 $D$，如果 $P$ 和 $Q$ 具有连续的偏导数，那么 \[ \int_C P\, dx + Q\, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA. \] 然而，由于 $L$ 是一个弧段，而不是闭合曲线，我们需要考虑 $P$ 和 $Q$ 的偏导数在 $L$ 的内部区域 $D$ 的性质。首先，我们定义 $P(x, y) = \frac{3y - x}{(x + y)^3}$ 和 $Q(x, y) = \frac{y - 3x}{(x + y)^3}$。我们计算 $P$ 和 $Q$ 的偏导数： \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{(3)(x + y)^3 - (3y - x)(3)(x + y)^2}{(x + y)^6} = \frac{3(x + y) - 3(3y - x)}{(x + y)^4} = \frac{3x + 3y - 9y + 3x}{(x + y)^4} = \frac{6x - 6y}{(x + y)^4}, \] \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{(-3)(x + y)^3 - (y - 3x)(3)(x + y)^2}{(x + y)^6} = \frac{-3(x + y) - 3(y - 3x)}{(x + y)^4} = \frac{-3x - 3y - 3y + 9x}{(x + y)^4} = \frac{6x - 6y}{(x + y)^4}. \] 我们发现 $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$。因此，向量场 $\mathbf{F} = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j}$ 是保守的，这意味着曲线积分的值只依赖于起点和终点，与路径无关。因此，我们可以选择任何路径来计算这个积分，最简单的是选择直线段从 $(1,0)$ 到 $(0,1)$。 直线段的参数方程可以写为 $x = 1 - t$ 和 $y = t$，其中 $t$ 从 $0$ 到 $1$。我们代入 $P$ 和 $Q$： \[ P(1 - t, t) = \frac{3t - (1 - t)}{(1 - t + t)^3} = \frac{4t - 1}{1^3} = 4t - 1, \] \[ Q(1 - t, t) = \frac{t - 3(1 - t)}{(1 - t + t)^3} = \frac{t - 3 + 3t}{1^3} = 4t - 3. \] 然后，$dx = -dt$ 和 $dy = dt$，所以积分变为 \[ \int_{L} \frac{(3y - x)dx + (y - 3x)dy}{(x + y)^3} = \int_{0}^{1} \left[ (4t - 1)(-dt) + (4t - 3)dt \right] = \int_{0}^{1} \left[ -4t + 1 + 4t - 3 \right] dt = \int_{0}^{1} (-2) dt = -2 \left[ t \right]_{0}^{1} = -2(1 - 0) = -2. \] 因此，曲线积分的值是 $\boxed{-2}$.