四、证明题（共7分）23.证明：方程2x-arctanx-1=0在(0,1)上有且仅有一个实根.

考查要点：本题主要考查利用连续函数的零点存在定理和单调性证明方程在指定区间内有且仅有一个实根。

解题核心思路：

1. 构造函数：将方程转化为函数形式，分析其连续性。
2. 存在性证明：通过计算区间端点的函数值，结合零点存在定理，证明至少存在一个根。
3. 唯一性证明：通过求导分析函数的单调性，证明根的唯一性。

破题关键点：

• 函数构造：定义$f(x) = 2x - \arctan x - 1$，明确其连续性。
• 端点值计算：验证$f(0) < 0$和$f(1) > 0$，为零点存在定理提供依据。
• 导数分析：证明$f'(x) > 0$，说明函数在区间内严格递增，从而唯一性得证。

步骤1：构造函数并验证连续性

定义函数$f(x) = 2x - \arctan x - 1$。
由于$\arctan x$在$\mathbb{R}$上连续可导，因此$f(x)$在区间$[0, 1]$上连续且可导。

步骤2：计算端点值，证明存在性

计算$f(0)$和$f(1)$：
$f(0) = 2 \cdot 0 - \arctan 0 - 1 = -1 < 0, \\ f(1) = 2 \cdot 1 - \arctan 1 - 1 = 1 - \frac{\pi}{4} \approx 0.2146 > 0.$
根据零点存在定理，$f(x)$在$(0, 1)$内至少有一个零点。

步骤3：求导分析单调性，证明唯一性

求导得：
$f'(x) = 2 - \frac{1}{1 + x^2}.$
在区间$(0, 1)$内，$x^2 \in (0, 1)$，因此：
$\frac{1}{1 + x^2} \in \left( \frac{1}{2}, 1 \right), \\ f'(x) = 2 - \frac{1}{1 + x^2} \in (1, 1.5) > 0.$
由于$f'(x) > 0$，$f(x)$在$(0, 1)$内严格递增，故至多有一个零点。

结论

结合存在性和唯一性，方程$2x - \arctan x - 1 = 0$在$(0, 1)$内有且仅有一个实根。