题目
4、微分方程 ''+4y=cos 2x 的特解形式可设为 ()-|||-(A)acos2x (B)axcos2x-|||-(C) (acos 2x+bsin 2x) (D) cos 2x+bsin 2x
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定齐次方程的特征方程
齐次方程 $y'' + 4y = 0$ 的特征方程为 $r^2 + 4 = 0$，解得 $r = \pm 2i$。因此，齐次方程的通解为 $y_h = c_1 \cos 2x + c_2 \sin 2x$。
步骤 2：确定非齐次方程的特解形式
由于非齐次项为 $\cos 2x$，且 $\cos 2x$ 是齐次方程的解的一部分，因此特解形式需要乘以 $x$，即特解形式为 $y_p = x(a \cos 2x + b \sin 2x)$。
步骤 3：验证特解形式
将 $y_p = x(a \cos 2x + b \sin 2x)$ 代入原方程 $y'' + 4y = \cos 2x$，可以验证该形式满足方程。
齐次方程 $y'' + 4y = 0$ 的特征方程为 $r^2 + 4 = 0$，解得 $r = \pm 2i$。因此，齐次方程的通解为 $y_h = c_1 \cos 2x + c_2 \sin 2x$。
步骤 2：确定非齐次方程的特解形式
由于非齐次项为 $\cos 2x$，且 $\cos 2x$ 是齐次方程的解的一部分，因此特解形式需要乘以 $x$，即特解形式为 $y_p = x(a \cos 2x + b \sin 2x)$。
步骤 3：验证特解形式
将 $y_p = x(a \cos 2x + b \sin 2x)$ 代入原方程 $y'' + 4y = \cos 2x$，可以验证该形式满足方程。