题目
设 (E)lt infty , 若f(x)是a.e.有限的可测函数,证明对任意的 gt 0, 存-|||-在_(8)=E 和 gt 0, 使得 (E|(E)_(0))lt 8, 且对任意 in (E)_(8) |f(x)|leqslant M.
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义和理解问题
题目要求证明对于任意的 $8\gt 0$，存在一个子集 ${E}_{8}\subset E$ 和一个正数 $M\gt 0$，使得 $m(E\setminus{E}_{8})\lt 8$，且对于任意 $x\in {E}_{8}$，有 $|f(x)|\leqslant M$。这里 $m$ 表示测度，$E$ 是一个测度有限的集合，$f(x)$ 是几乎处处有限的可测函数。
步骤 2：利用鲁津定理
鲁津定理指出，如果 $f(x)$ 是几乎处处有限的可测函数，那么对于任意的 $8\gt 0$，存在一个闭集 ${F}_{8}\subset E$，使得 $m(E\setminus{F}_{8})\lt 8$，且 $f(x)$ 在 ${F}_{8}$ 上是连续的。由于 ${F}_{8}$ 是闭集，且 $f(x)$ 在 ${F}_{8}$ 上连续，因此 $f(x)$ 在 ${F}_{8}$ 上是有界的。这意味着存在一个正数 $M\gt 0$，使得对于任意 $x\in {F}_{8}$，有 $|f(x)|\leqslant M$。
步骤 3：定义 ${E}_{8}$ 并验证条件
令 ${E}_{8}={F}_{8}$，则 ${E}_{8}\subset E$，且 $m(E\setminus{E}_{8})=m(E\setminus{F}_{8})\lt 8$。同时，对于任意 $x\in {E}_{8}$，有 $|f(x)|\leqslant M$。这满足了题目要求的条件。
题目要求证明对于任意的 $8\gt 0$，存在一个子集 ${E}_{8}\subset E$ 和一个正数 $M\gt 0$，使得 $m(E\setminus{E}_{8})\lt 8$，且对于任意 $x\in {E}_{8}$，有 $|f(x)|\leqslant M$。这里 $m$ 表示测度，$E$ 是一个测度有限的集合，$f(x)$ 是几乎处处有限的可测函数。
步骤 2：利用鲁津定理
鲁津定理指出，如果 $f(x)$ 是几乎处处有限的可测函数，那么对于任意的 $8\gt 0$，存在一个闭集 ${F}_{8}\subset E$，使得 $m(E\setminus{F}_{8})\lt 8$，且 $f(x)$ 在 ${F}_{8}$ 上是连续的。由于 ${F}_{8}$ 是闭集，且 $f(x)$ 在 ${F}_{8}$ 上连续，因此 $f(x)$ 在 ${F}_{8}$ 上是有界的。这意味着存在一个正数 $M\gt 0$，使得对于任意 $x\in {F}_{8}$，有 $|f(x)|\leqslant M$。
步骤 3：定义 ${E}_{8}$ 并验证条件
令 ${E}_{8}={F}_{8}$，则 ${E}_{8}\subset E$，且 $m(E\setminus{E}_{8})=m(E\setminus{F}_{8})\lt 8$。同时，对于任意 $x\in {E}_{8}$，有 $|f(x)|\leqslant M$。这满足了题目要求的条件。