已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)， 其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导．求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．

考查要点：本题主要考查周期函数的性质、导数的定义及泰勒展开的应用，以及利用导数求切线方程的能力。

解题核心思路：

1. 周期性转化：利用函数$f(x)$的周期为5，将$f(6)$和$f'(6)$转化为$f(1)$和$f'(1)$。
2. 方程处理：通过在$x \to 0$时对原方程进行泰勒展开或导数定义的变形，建立关于$f(1)$和$f'(1)$的方程。
3. 求解参数：结合方程中的系数比较，确定$f(1)$和$f'(1)$的值。
4. 切线方程：代入切点坐标和斜率，写出切线方程。

破题关键点：

• 周期性简化：将$f(6)$和$f'(6)$转化为$f(1)$和$f'(1)$。
• 方程变形：通过泰勒展开或导数定义，将原方程转化为关于$f(1)$和$f'(1)$的方程。
• 系数比较：利用无穷小量的性质，比较方程两边的系数，确定未知参数。

步骤1：利用周期性转化目标

由于$f(x)$是周期为5的函数，故：
$f(6) = f(6 - 5) = f(1), \quad f'(6) = f'(1).$

步骤2：确定$f(1)$的值

在原方程$f(1+\sin x) - 3f(1-\sin x) = 8x + a(x)$中，令$x \to 0$，此时$\sin x \approx x$，且$a(x)$是比$x$高阶的无穷小。根据$f(x)$的连续性，当$x \to 0$时：
$f(1+\sin x) \to f(1), \quad f(1-\sin x) \to f(1).$
代入方程得：
$f(1) - 3f(1) = 0 \implies -2f(1) = 0 \implies f(1) = 0.$

步骤3：确定$f'(1)$的值

将原方程两边除以$\sin x$（记$h = \sin x \approx x$），并取$x \to 0$的极限：
$\frac{f(1+h) - 3f(1-h)}{h} = 8 + \frac{a(h)}{h}.$
当$h \to 0$时，右边趋近于8。左边展开为：
$\frac{f(1+h) - f(1)}{h} + 3 \cdot \frac{f(1-h) - f(1)}{-h} \to f'(1) + 3f'(1) = 4f'(1).$
因此：
$4f'(1) = 8 \implies f'(1) = 2.$

步骤4：求切线方程

由周期性得：
$f(6) = f(1) = 0, \quad f'(6) = f'(1) = 2.$
切线方程为：
$y = f'(6)(x - 6) + f(6) = 2(x - 6).$