题目
4.求 (x)=dfrac (x)(x), varphi (x)=dfrac (|x|)(x) 当 arrow 0 时的左右极限,并说明它们-|||-在 arrow 0 时的极限是否存在。
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $f(x)$ 的左极限
$f(x)=\dfrac{x}{x}$，当 $x\rightarrow 0^{-}$ 时，$x$ 是负数，因此 $f(x)$ 的值为 $1$。所以，$f(0-0)=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\dfrac{x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}1=1$。
步骤 2：计算 $f(x)$ 的右极限
$f(x)=\dfrac{x}{x}$，当 $x\rightarrow 0^{+}$ 时，$x$ 是正数，因此 $f(x)$ 的值为 $1$。所以，$f(0+0)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}1=1$。
步骤 3：判断 $f(x)$ 在 $x\rightarrow 0$ 时的极限是否存在
由于 $f(0-0)=f(0+0)=1$，所以 $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1$。
步骤 4：计算 $\varphi(x)$ 的左极限
$\varphi(x)=\dfrac{|x|}{x}$，当 $x\rightarrow 0^{-}$ 时，$x$ 是负数，因此 $|x|=-x$，所以 $\varphi(x)$ 的值为 $-1$。所以，$\varphi(0-0)=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\varphi(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\dfrac{|x|}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\dfrac{-x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}(-1)=-1$。
步骤 5：计算 $\varphi(x)$ 的右极限
$\varphi(x)=\dfrac{|x|}{x}$，当 $x\rightarrow 0^{+}$ 时，$x$ 是正数，因此 $|x|=x$，所以 $\varphi(x)$ 的值为 $1$。所以，$\varphi(0+0)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\varphi(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{|x|}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}1=1$。
步骤 6：判断 $\varphi(x)$ 在 $x\rightarrow 0$ 时的极限是否存在
由于 $\varphi(0-0)=-1$，$\varphi(0+0)=1$，所以 $\lim_{x\rightarrow 0}\varphi(x)$ 不存在。
$f(x)=\dfrac{x}{x}$，当 $x\rightarrow 0^{-}$ 时，$x$ 是负数，因此 $f(x)$ 的值为 $1$。所以，$f(0-0)=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\dfrac{x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}1=1$。
步骤 2：计算 $f(x)$ 的右极限
$f(x)=\dfrac{x}{x}$，当 $x\rightarrow 0^{+}$ 时，$x$ 是正数，因此 $f(x)$ 的值为 $1$。所以，$f(0+0)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}1=1$。
步骤 3：判断 $f(x)$ 在 $x\rightarrow 0$ 时的极限是否存在
由于 $f(0-0)=f(0+0)=1$，所以 $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1$。
步骤 4：计算 $\varphi(x)$ 的左极限
$\varphi(x)=\dfrac{|x|}{x}$，当 $x\rightarrow 0^{-}$ 时，$x$ 是负数，因此 $|x|=-x$，所以 $\varphi(x)$ 的值为 $-1$。所以，$\varphi(0-0)=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\varphi(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\dfrac{|x|}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\dfrac{-x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^{-}}(-1)=-1$。
步骤 5：计算 $\varphi(x)$ 的右极限
$\varphi(x)=\dfrac{|x|}{x}$，当 $x\rightarrow 0^{+}$ 时，$x$ 是正数，因此 $|x|=x$，所以 $\varphi(x)$ 的值为 $1$。所以，$\varphi(0+0)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\varphi(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{|x|}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\dfrac{x}{x}=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}1=1$。
步骤 6：判断 $\varphi(x)$ 在 $x\rightarrow 0$ 时的极限是否存在
由于 $\varphi(0-0)=-1$，$\varphi(0+0)=1$，所以 $\lim_{x\rightarrow 0}\varphi(x)$ 不存在。