设向量x与j成60°角,设向量x与j成60°角,设向量x与j成60°角,

考查要点：本题主要考查方向余弦的概念及其应用，以及向量的模长与方向余弦的关系。

解题核心思路：

1. 方向余弦的平方和为1：若向量与坐标轴的夹角分别为$\alpha, \beta, \gamma$，则$\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1$。
2. 已知向量与$y$轴（对应$j$）夹角为$60^\circ$，与$z$轴（对应$k$）夹角为$120^\circ$，可求出$\cos\beta$和$\cos\gamma$。
3. 利用方向余弦的平方和公式求出$\cos\alpha$的可能值。
4. 结合向量模长$|x|=5\sqrt{2}$，写出向量$x$的具体表达式。

破题关键点：

• 方向余弦的符号：$\cos\alpha$可能为正或负，对应两种不同的解。
• 分量计算：将方向余弦与模长相乘，得到向量的各分量。

步骤1：确定方向余弦

• 与$y$轴夹角$\beta = 60^\circ$，故$\cos\beta = \cos60^\circ = \dfrac{1}{2}$。
• 与$z$轴夹角$\gamma = 120^\circ$，故$\cos\gamma = \cos120^\circ = -\dfrac{1}{2}$。
• 根据方向余弦平方和公式：
  $\cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1 \implies \cos^2\alpha + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 = 1$
  解得$\cos^2\alpha = \dfrac{1}{2}$，因此$\cos\alpha = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。

步骤2：计算向量分量

向量$x$可表示为：
$x = |x| \left( \cos\alpha \, \mathbf{i} + \cos\beta \, \mathbf{j} + \cos\gamma \, \mathbf{k} \right)$
代入已知条件$|x|=5\sqrt{2}$：

• 当$\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$时：
  $x = 5\sqrt{2} \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \, \mathbf{i} + \dfrac{1}{2} \, \mathbf{j} - \dfrac{1}{2} \, \mathbf{k} \right) = 5\mathbf{i} + \dfrac{5\sqrt{2}}{2}\mathbf{j} - \dfrac{5\sqrt{2}}{2}\mathbf{k}$
• 当$\cos\alpha = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$时：
  $x = 5\sqrt{2} \left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \, \mathbf{i} + \dfrac{1}{2} \, \mathbf{j} - \dfrac{1}{2} \, \mathbf{k} \right) = -5\mathbf{i} + \dfrac{5\sqrt{2}}{2}\mathbf{j} - \dfrac{5\sqrt{2}}{2}\mathbf{k}$