题目
4． 如图所示为一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，设此简谐波的频率为250 Hz，且此时质点P的运动方向向下，求(1) 该波的表达式；(2) 在距原点O为100 m处质点的振动方程与振动速度表达式．
4． 如图所示为一平面简谐波在t = 0 时刻的波形图，设此简谐波的频率为250 Hz，且此时质点P的运动方向向下，求
(1) 该波的表达式；
(2) 在距原点O为100 m处质点的振动方程与振动速度表达式．
题目解答
答案
(1) 波的表达式 (SI)
(2) 振动速度表达式是 (SI)
解析
步骤 1：确定波的传播方向和波长
根据题目描述，质点P在t = 0时刻的运动方向向下，结合波形图，可以判断波沿x轴正方向传播。波长λ可以通过波形图直接读取，为4m。
步骤 2：计算波速
波速v可以通过波长λ和频率f计算得到，公式为v = λf。代入λ = 4m，f = 250Hz，得到v = 4m × 250Hz = 1000m/s。
步骤 3：确定波的表达式
波的表达式为y = A sin(ωt - kx + φ)，其中A为振幅，ω为角频率，k为波数，φ为初相位。根据波形图，振幅A = 0.2m，角频率ω = 2πf = 2π × 250Hz = 500π rad/s，波数k = 2π/λ = 2π/4m = π/2 m⁻¹。由于t = 0时，x = 0处的质点位移为0，且运动方向向下，可以确定初相位φ = 0。因此，波的表达式为y = 0.2 sin(500πt - π/2 x)。
步骤 4：计算距原点O为100 m处质点的振动方程
将x = 100m代入波的表达式，得到振动方程为y = 0.2 sin(500πt - π/2 × 100) = 0.2 sin(500πt - 50π)。
步骤 5：计算振动速度表达式
振动速度v = dy/dt，对振动方程求导得到v = 0.2 × 500π cos(500πt - 50π) = 100π cos(500πt - 50π)。
根据题目描述，质点P在t = 0时刻的运动方向向下，结合波形图，可以判断波沿x轴正方向传播。波长λ可以通过波形图直接读取，为4m。
步骤 2：计算波速
波速v可以通过波长λ和频率f计算得到，公式为v = λf。代入λ = 4m，f = 250Hz，得到v = 4m × 250Hz = 1000m/s。
步骤 3：确定波的表达式
波的表达式为y = A sin(ωt - kx + φ)，其中A为振幅，ω为角频率，k为波数，φ为初相位。根据波形图，振幅A = 0.2m，角频率ω = 2πf = 2π × 250Hz = 500π rad/s，波数k = 2π/λ = 2π/4m = π/2 m⁻¹。由于t = 0时，x = 0处的质点位移为0，且运动方向向下，可以确定初相位φ = 0。因此，波的表达式为y = 0.2 sin(500πt - π/2 x)。
步骤 4：计算距原点O为100 m处质点的振动方程
将x = 100m代入波的表达式，得到振动方程为y = 0.2 sin(500πt - π/2 × 100) = 0.2 sin(500πt - 50π)。
步骤 5：计算振动速度表达式
振动速度v = dy/dt，对振动方程求导得到v = 0.2 × 500π cos(500πt - 50π) = 100π cos(500πt - 50π)。