11.设L为由点(0,0)到点(1,1)的曲线 =sin dfrac (pi x)(2), 计算曲线积分-|||-=(int )_(t)^2((x)^2+2xy)dx+((x)^2+(y)^4)dy.

步骤 1：确定积分曲线和补线
曲线L是从点(0,0)到点(1,1)的曲线 $y=\sin \dfrac {\pi x}{2}$。为了应用格林公式，我们需要补线L1和L2，其中L1是从点(1,1)到点(1,0)，L2是从点(1,0)到点(0,0)。这样，L、L1和L2围成一个闭合区域D。

步骤 2：应用格林公式
格林公式表明，对于一个闭合曲线C和它所围成的区域D，如果P和Q在D上具有连续的一阶偏导数，则有
$$\oint_C Pdx + Qdy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$
对于给定的积分，$P(x,y) = x^2 + 2xy$，$Q(x,y) = x^2 + y^4$，因此
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 2x$$
所以，$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$，这意味着闭合曲线L、L1和L2上的积分之和为0。

步骤 3：计算补线上的积分
由于闭合曲线上的积分之和为0，我们有
$$\oint_L Pdx + Qdy + \oint_{L1} Pdx + Qdy + \oint_{L2} Pdx + Qdy = 0$$
因此，原积分可以表示为
$$\oint_L Pdx + Qdy = -\oint_{L1} Pdx + Qdy - \oint_{L2} Pdx + Qdy$$
现在，我们分别计算L1和L2上的积分。

步骤 4：计算L1上的积分
L1是从点(1,1)到点(1,0)，因此x=1，$dx=0$，$y$从1变到0。所以
$$\oint_{L1} Pdx + Qdy = \int_1^0 (1 + y^4)dy = -\frac{6}{5}$$

步骤 5：计算L2上的积分
L2是从点(1,0)到点(0,0)，因此y=0，$dy=0$，$x$从1变到0。所以
$$\oint_{L2} Pdx + Qdy = \int_1^0 x^2dx = -\frac{1}{3}$$

步骤 6：计算原积分
将L1和L2上的积分代入，得到
$$\oint_L Pdx + Qdy = -\left(-\frac{6}{5}\right) - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{6}{5} + \frac{1}{3} = \frac{23}{15}$$