18/20 多选题（5分） 下列解题过程正确的是A. lim_(xto1)(x^2+x-2)/(x^2)-1=lim_(xto1)((x-1)(x+2))/((x-1)(x+1))=lim_(xto1)(x+2)/(x+1)=(1+2)/(1+1)=(3)/(2)B. lim_(xtoinfty)(sqrt(x^2)+x-sqrt(x^2)-x)=lim_(xto1)sqrt(x^2)+x-lim_(xto1)sqrt(x^2)-x=infty-infty=0C. d(lncos x)=(1)/(cos x)d(cos x)=(-sin x)/(cos x)dx=-tan xdxD. 设f(x)为可导函数，则[f(sin x)]'=cos x f'(sin x)
A. $\lim_{x\to1}\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\to1}\frac{x+2}{x+1}=\frac{1+2}{1+1}=\frac{3}{2}$
B. $\lim_{x\to\infty}(\sqrt{x^{2}+x}-\sqrt{x^{2}-x})=\lim_{x\to1}\sqrt{x^{2}+x}-\lim_{x\to1}\sqrt{x^{2}-x}=\infty-\infty=0$
C. $d(\ln\cos x)=\frac{1}{\cos x}d(\cos x)=\frac{-\sin x}{\cos x}dx=-\tan xdx$
D. 设f(x)为可导函数，则$[f(\sin x)]'=\cos x f'(\sin x)$
题目解答
答案
A. $\lim_{x\to1}\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+1)}=\lim_{x\to1}\frac{x+2}{x+1}=\frac{1+2}{1+1}=\frac{3}{2}$
C. $d(\ln\cos x)=\frac{1}{\cos x}d(\cos x)=\frac{-\sin x}{\cos x}dx=-\tan xdx$
D. 设f(x)为可导函数，则$[f(\sin x)]'=\cos x f'(\sin x)$
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算、导数的链式法则应用，以及极限运算中常见的错误处理方式。
解题核心思路：
- 选项A：通过因式分解化简分式，消除不定式后直接代入求极限。
- 选项B：错误地拆分无穷大差值，正确方法应通过有理化处理。
- 选项C：应用链式法则计算微分，注意中间变量的导数符号。
- 选项D：验证复合函数导数的链式法则应用是否正确。
破题关键点：
- 极限运算中，遇到$\frac{0}{0}$型不定式需先化简；拆分$\infty - \infty$型极限需谨慎，避免直接拆分。
- 导数计算中，链式法则要求逐层求导并正确传递符号。
选项A
因式分解
分子$x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)$，分母$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$。
约分
$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+2)}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+2}{x+1}$。
代入计算
$\frac{1+2}{1+1} = \frac{3}{2}$，正确。
选项B
错误分析
直接拆分$\sqrt{x^2+x} - \sqrt{x^2-x}$为$\infty - \infty$是未定式，不可拆分。
正确方法
有理化后化简：
$\begin{aligned}\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2+x} + \sqrt{x^2-x}} &= \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + \sqrt{1-\frac{1}{x}}} \\&= \frac{2}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{2}{2} = 1.\end{aligned}$
原解法错误，错误。
选项C
链式法则
$d(\ln \cos x) = \frac{1}{\cos x} d(\cos x)$，其中$d(\cos x) = -\sin x dx$。
化简
$\frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x dx) = -\tan x dx$，正确。
选项D
链式法则
外函数$f(\sin x)$导数为$f'(\sin x) \cdot \cos x$，正确。