4. 判断n阶初等矩阵与n阶单位矩阵等价。A. ×B. √

考查要点：本题主要考查矩阵等价的概念及初等矩阵的性质。

解题核心思路：

1. 矩阵等价的定义是存在可逆矩阵$P$和$Q$，使得$PAQ = B$。
2. 初等矩阵是由单位矩阵经过一次初等变换得到的，且初等矩阵本身是可逆的。
3. 由于初等矩阵可以通过有限次初等变换变回单位矩阵，因此它们必然等价。

破题关键点：

• 初等矩阵的可逆性保证了存在逆变换，从而能通过可逆矩阵的乘积联系单位矩阵。
• 秩的条件：初等矩阵与单位矩阵的秩均为$n$，满足等价的必要条件。

矩阵等价的判定：

1. 初等矩阵的性质：
   初等矩阵是由单位矩阵通过一次初等行或列变换得到的，且初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵。
2. 等价关系的传递性：
   任何初等矩阵$E$均可通过有限次初等变换变回单位矩阵$I$，即存在初等矩阵$E_1, E_2, \dots, E_k$，使得
   $E_k E_{k-1} \cdots E_1 E = I.$
   这表明存在可逆矩阵（初等矩阵的乘积）使得$E$与$I$等价。
3. 结论：
   初等矩阵与单位矩阵等价，因此答案为√。