题目

【真题23】求极限lim_(xto0)(e^cosx-e)/(x^2).

【真题23】求极限$\lim_{x\to0}\frac{e^{cosx}-e}{x^{2}}$.

题目解答

答案

将原式重写为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^{\cos x} - e}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e(e^{\cos x - 1} - 1)}{x^2}. \] 利用等价无穷小 $e^u - 1 \sim u$（当 $u \to 0$）： \[ e^{\cos x - 1} - 1 \sim \cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2}. \] 代入得： \[ \lim_{x \to 0} \frac{e(-\frac{x^2}{2})}{x^2} = -\frac{e}{2}. \] 或使用洛必达法则两次求导，结果仍为 $-\frac{e}{2}$。 **答案：** $\boxed{-\frac{e}{2}}$

解析

本题考查极限的计算，解题思路主要有有两种，一是利用等价无穷小替换简化计算，二是使用洛必达法则进行求解。

方法一：等价无穷小替换

  1. 首先对原式进行变形：
    • 已知原式为$\lim_{x\rightarrow0}\lim\frac{e^{\cos x}-e}{x^{2}}$，根据指数运算法则$a^{m+n}=a^{n + p}=a^{n}\cdot a^{p}$，可将$e^{\cos x}$变形为$e^{\cos x}=e\cdot e^{\cos x - 1}$，则原式变为$\_{x\rightarrow0}\lim\frac{e\cdot e^{\cos x - 1}-e}{x^{2}}$。
    • 提取公因式$e$，得到$\_{x\rightarrow0}\lim\frac{e(e^{\cos x - 1}-1)}{x^{2}}$。
  2. 然后利用利用等价无穷小替换：
    • 当$u\rightarrow0$时，$e^{u}-1\sim u$。当$x\rightarrow0$时，$\cos x - 1\rightarrow0$，令$u = \cos x\rightarrow0$时，$\cos x - 1\rightarrow0$，令$u=\cos x - 1$，则$e^{\cos x - 1}-1\sim\cos x - 1$。
    • 又因为当$\cos x = 1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots$，当$x\rightarrow0$时，$\cos x - 1\sim-\frac{x^{2}}{2}$。
  3. 最后代入计算极限：
    • 将$e^{\cos x - 1}-1\sim-\frac{x^{2}}{2}$代入$\_{x\rightarrow0}\lim\frac{e(e^{\cos x - 1}-1)}{x^{2}}$中，得到$\_{x\rightarrow0}\lim\frac{e(-\frac{x^{2}}{2})}{x^{2}}$。
    • 约去$x^{2$，可得$\_{x\rightarrow0}\lim(-\frac{e}{2})=-\frac{e}{2}$。

方法二：洛必达法则

  1. 当$x\rightarrow0$时，原式$\frac{e^{\cos x}-e}{x^{2}}$的分子$e^{\cos x}-e\rightarrow e^{\cos0}-e=e - e = 0$，分母$x^{2}\rightarrow0$，属于$\frac{0}{0}$型未定式，可以使用洛必达法则。
    • 洛必达法则：若$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}$为$\frac{0}{0})$型或$\frac{\infty}{\infty}$型未定式，且$f(x)$与$)在\(a$的某去心邻域内可导，$g^{\prime}(x)\neq0$，$\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)})$存在（或为无穷大），则$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$。
    • 对分子分母分别求导，根据求导公式$(e^{u})^{\prime}=e^{u}\cdot u^{\prime}$，$(\cos x)^{\prime}=-\sin x$，$(x^{n})^{\prime}=nx^{n - 1}$，可得$(e^{\cos x}-e)^{\prime}=e^{\cos x}\cdot(-\sin x)$，$(x^{2})^{\prime}=2x$，则$\_{x\rightarrow0}\lim\frac{e^{\cos x}-e}{x^{2}=\_{x\rightarrow0}\lim\frac{-e^{\cos x}\sin x}{2x}$。
  2. 此时$\_{x\rightarrow0$时，$\frac{-e^{\cos x}\sin x}{2x}$仍为$\frac{0}{0}$型未定式，再次使用洛必达法则。
    • 对分子分母分别求导，$(-e^{\cos x}\sin x)^{\prime}=-[e^{\cos x}\cdot(-\sin x)\cdot\sin x+e^{\cos x}\cdot\cos x]=e^{\cos x}(\sin^{2}x-\cos x)$，$(2x)^{\prime}=2$，则$\_{x\rightarrow0}\lim\frac{-e^{\cos x}\sin x}{2x}=\_{x\rightarrow0}\lim\frac{e^{\cos x(\sin^{2}x-\cos x)}{2}$。
  3. 最后计算极限：
    • 将$x = 0$代入$\frac{e^{\cos x}(\sin^{2}x-\cos x)}{2}$中，得到$\frac{e^{\cos0}(\sin^{2}0-\cos0)}{2}=\frac{e(0 - 1)}{2}=-\frac{e}{2}$。