题目
3.设f(z)=}(x^3-y^3+i(x^3+y^3))/(x^2)+y^(2),&z=x+iyneq0,0,&z=0,试证f(z)在原点满足C.-R.方程，但却不可微.
3.设
$f(z)=\begin{cases}\frac{x^{3}-y^{3}+i(x^{3}+y^{3})}{x^{2}+y^{2}},&z=x+iy\neq0,\\0,&z=0,\end{cases}$
试证f(z)在原点满足C.-R.方程，但却不可微.
题目解答
答案
1. **计算偏导数**
在原点，
\[
u_x(0,0) = \lim_{x \to 0} \frac{u(x,0)}{x} = 1, \quad v_x(0,0) = \lim_{x \to 0} \frac{v(x,0)}{x} = 1,
\]
\[
u_y(0,0) = \lim_{y \to 0} \frac{u(0,y)}{y} = -1, \quad v_y(0,0) = \lim_{y \to 0} \frac{v(0,y)}{y} = 1.
\]
2. **满足C.-R.方程**
\[
u_x(0,0) = v_y(0,0) = 1, \quad u_y(0,0) = -v_x(0,0) = -1,
\]
故满足C.-R.方程。
3. **判断可微性**
沿直线 $ y = mx $ 趋近原点，
\[
\lim_{x \to 0} \frac{f(x,mx)}{x + imx} = \frac{1 - m^3 + i(1 + m^3)}{(1 + m^2)(1 + im)},
\]
极限值依赖于 $ m $，不唯一，故不可微。
**答案：**
函数 $ f(z) $ 在原点满足C.-R.方程，但不可微。
解析
步骤 1：计算偏导数
在原点，我们首先计算 $u_x(0,0)$ 和 $v_x(0,0)$，以及 $u_y(0,0)$ 和 $v_y(0,0)$。根据定义，我们有：
\[ u_x(0,0) = \lim_{x \to 0} \frac{u(x,0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2} = 1, \]
\[ v_x(0,0) = \lim_{x \to 0} \frac{v(x,0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2} = 1, \]
\[ u_y(0,0) = \lim_{y \to 0} \frac{u(0,y)}{y} = \lim_{y \to 0} \frac{-y^3}{y^2} = -1, \]
\[ v_y(0,0) = \lim_{y \to 0} \frac{v(0,y)}{y} = \lim_{y \to 0} \frac{y^3}{y^2} = 1. \]
步骤 2：满足C.-R.方程
根据C.-R.方程，我们有：
\[ u_x(0,0) = v_y(0,0) = 1, \]
\[ u_y(0,0) = -v_x(0,0) = -1. \]
因此，函数 $f(z)$ 在原点满足C.-R.方程。
步骤 3：判断可微性
为了判断函数在原点是否可微，我们考虑沿直线 $y = mx$ 趋近原点的极限：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x,mx)}{x + imx} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3 - (mx)^3 + i(x^3 + (mx)^3)}{x^2 + (mx)^2}}{x + imx} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - m^3 + i(1 + m^3)}{(1 + m^2)(1 + im)}. \]
由于极限值依赖于 $m$，不唯一，因此函数 $f(z)$ 在原点不可微。
在原点，我们首先计算 $u_x(0,0)$ 和 $v_x(0,0)$，以及 $u_y(0,0)$ 和 $v_y(0,0)$。根据定义，我们有：
\[ u_x(0,0) = \lim_{x \to 0} \frac{u(x,0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2} = 1, \]
\[ v_x(0,0) = \lim_{x \to 0} \frac{v(x,0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{x^2} = 1, \]
\[ u_y(0,0) = \lim_{y \to 0} \frac{u(0,y)}{y} = \lim_{y \to 0} \frac{-y^3}{y^2} = -1, \]
\[ v_y(0,0) = \lim_{y \to 0} \frac{v(0,y)}{y} = \lim_{y \to 0} \frac{y^3}{y^2} = 1. \]
步骤 2：满足C.-R.方程
根据C.-R.方程，我们有：
\[ u_x(0,0) = v_y(0,0) = 1, \]
\[ u_y(0,0) = -v_x(0,0) = -1. \]
因此，函数 $f(z)$ 在原点满足C.-R.方程。
步骤 3：判断可微性
为了判断函数在原点是否可微，我们考虑沿直线 $y = mx$ 趋近原点的极限：
\[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x,mx)}{x + imx} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3 - (mx)^3 + i(x^3 + (mx)^3)}{x^2 + (mx)^2}}{x + imx} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - m^3 + i(1 + m^3)}{(1 + m^2)(1 + im)}. \]
由于极限值依赖于 $m$，不唯一，因此函数 $f(z)$ 在原点不可微。