设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，E是m阶的单位矩阵，若AB=E，则( )A. 秩r(A)=m，秩r(B)=m．B. 秩r(A)=m，秩r(B)=n．C. 秩r(A)=n，秩r(B)=m．D. 秩r(A)=n，秩r(B)=n．

考查要点：本题主要考查矩阵乘法的秩性质及逆矩阵的相关结论。
解题核心思路：

1. 利用矩阵乘积的秩性质：若 $AB=E$，则 $r(AB)=m$（因 $E$ 是 $m$ 阶单位矩阵）。
2. 秩的限制条件：$r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}$，因此 $r(A) \geq m$ 且 $r(B) \geq m$。
3. 矩阵的逆与秩的关系：若 $A$ 有左逆（如本题中 $B$ 是左逆），则 $r(A)=m$；同理，若 $B$ 有右逆，则 $r(B)=m$。

破题关键点：

• 左逆的存在性：$AB=E$ 说明 $A$ 是列满秩矩阵（$r(A)=m$），$B$ 是行满秩矩阵（$r(B)=m$）。
• 排除干扰项：选项中若秩超过矩阵维度或不符合逆矩阵性质的可直接排除。

关键步骤分析：

1. 矩阵乘积的秩：
   由 $AB=E$，得 $r(AB)=m$。根据秩的性质 $r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}$，可知 $r(A) \geq m$ 且 $r(B) \geq m$。

2. 矩阵的维度限制：

   • $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，其秩最大为 $\min\{m,n\}$。
   • $B$ 是 $n \times m$ 矩阵，其秩最大为 $\min\{n,m\}$。

3. 逆矩阵的性质：

   • 若 $A$ 存在左逆 $B$（即 $BA=E$），则 $A$ 的列向量组线性无关，故 $r(A)=m$。
   • 若 $B$ 存在右逆 $A$（即 $AB=E$），则 $B$ 的行向量组线性无关，故 $r(B)=m$。

选项验证：

• 选项A：$r(A)=m$，$r(B)=m$，符合上述结论。
• 选项B：$r(B)=n$，但 $B$ 是 $n \times m$ 矩阵，若 $m < n$，则 $r(B) \leq m$，矛盾。
• 选项C/D：$r(A)=n$ 或 $r(B)=n$，若 $m < n$，则 $r(A) \leq m$，矛盾。