一射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中目标的次数的分布律和分布函数 F(x)，以及3次射击中至少击中2次的概率。

我们来逐步解决这个概率题目。

题目分析

一射手独立地进行了 3 次射击，每次击中目标的概率为 0.8，即 $ p = 0.8 $，未击中的概率为 $ q = 1 - p = 0.2 $。

设随机变量 $ X $ 表示 3 次射击中击中目标的次数。

由于每次射击是独立的，且每次只有“击中”或“未击中”两种结果，这是一个二项分布问题。

所以：
$X \sim B(n=3, p=0.8)$

第一步：求分布律（概率质量函数）

分布律是指 $ P(X = k) $，其中 $ k = 0, 1, 2, 3 $。

二项分布的概率公式为：
$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = \binom{3}{k} (0.8)^k (0.2)^{3-k}$

我们分别计算 $ k = 0, 1, 2, 3 $ 的概率。

1. $ k = 0 $：一次都没击中

$P(X=0) = \binom{3}{0} (0.8)^0 (0.2)^3 = 1 \times 1 \times 0.008 = 0.008$

2. $ k = 1 $：击中1次

$P(X=1) = \binom{3}{1} (0.8)^1 (0.2)^2 = 3 \times 0.8 \times 0.04 = 3 \times 0.032 = 0.096$

3. $ k = 2 $：击中2次

$P(X=2) = \binom{3}{2} (0.8)^2 (0.2)^1 = 3 \times 0.64 \times 0.2 = 3 \times 0.128 = 0.384$

4. $ k = 3 $：击中3次

$P(X=3) = \binom{3}{3} (0.8)^3 (0.2)^0 = 1 \times 0.512 \times 1 = 0.512$

分布律表格

$ k $	$ P(X = k) $
0	0.008
1	0.096
2	0.384
3	0.512

验证总和是否为1：
$0.008 + 0.096 = 0.104 \\ 0.104 + 0.384 = 0.488 \\ 0.488 + 0.512 = 1.000$
✅ 正确。

第二步：求分布函数 $ F(x) $

分布函数定义为：
$F(x) = P(X \leq x)$
由于 $ X $ 是离散型随机变量，取值为 0, 1, 2, 3，所以 $ F(x) $ 是一个分段函数。

我们按区间来写：

• 当 $ x < 0 $：$ F(x) = 0 $
• 当 $ 0 \leq x < 1 $：$ F(x) = P(X \leq 0) = P(X=0) = 0.008 $
• 当 $ 1 \leq x < 2 $：$ F(x) = P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1) = 0.008 + 0.096 = 0.104 $
• 当 $ 2 \leq x < 3 $：$ F(x) = P(X \leq 2) = 0.008 + 0.096 + 0.384 = 0.488 $
• 当 $ x \geq 3 $：$ F(x) = P(X \leq 3) = 1 $

分布函数 $ F(x) $ 的表达式：

$F(x) = \begin{cases}0, & x < 0 \\0.008, & 0 \leq x < 1 \\0.104, & 1 \leq x < 2 \\0.488, & 2 \leq x < 3 \\1, & x \geq 3 \\\end{cases}$

第三步：求“至少击中2次”的概率

即求：
$P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3) = 0.384 + 0.512 = \boxed{0.896}$

最终答案总结

1. 分布律：

$\begin{aligned}P(X=0) &= 0.008 \\P(X=1) &= 0.096 \\P(X=2) &= 0.384 \\P(X=3) &= 0.512 \\\end{aligned}$

2. 分布函数 $ F(x) $：

$F(x) = \begin{cases}0, & x < 0 \\0.008, & 0 \leq x < 1 \\0.104, & 1 \leq x < 2 \\0.488, & 2 \leq x < 3 \\1, & x \geq 3 \\\end{cases}$

3. 至少击中2次的概率：

$\boxed{0.896}$

✅ 解答完毕。