题目
设随机变量X的概率密度为 f(x)= ) Ax(e)^-x,xgt 0 0,xleqslant 0 . 则常数A的值为 ()A.-1B.1C.-2D.2
A.-1
B.1
C.-2
D.2
题目解答
答案
B. 1
解析
步骤 1：确定概率密度函数的性质
概率密度函数f(x)的性质之一是其在整个定义域上的积分等于1。即：
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$$
步骤 2：计算积分
根据题目中给出的概率密度函数，我们只需要计算x>0部分的积分，因为x≤0时f(x)=0。所以，我们有：
$$\int_{0}^{\infty} Ax{e}^{-x} dx = 1$$
步骤 3：求解A
为了求解A，我们需要计算上述积分。使用分部积分法，设u=x，dv=${e}^{-x}dx$，则du=dx，v=-${e}^{-x}$。因此，积分变为：
$$\int_{0}^{\infty} Ax{e}^{-x} dx = A\left[-x{e}^{-x}\right]_{0}^{\infty} + A\int_{0}^{\infty} {e}^{-x} dx$$
$$= A\left[0 - 0\right] + A\left[-{e}^{-x}\right]_{0}^{\infty}$$
$$= A\left[0 - (-1)\right]$$
$$= A$$
因此，为了使积分等于1，A必须等于1。
概率密度函数f(x)的性质之一是其在整个定义域上的积分等于1。即：
$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$$
步骤 2：计算积分
根据题目中给出的概率密度函数，我们只需要计算x>0部分的积分，因为x≤0时f(x)=0。所以，我们有：
$$\int_{0}^{\infty} Ax{e}^{-x} dx = 1$$
步骤 3：求解A
为了求解A，我们需要计算上述积分。使用分部积分法，设u=x，dv=${e}^{-x}dx$，则du=dx，v=-${e}^{-x}$。因此，积分变为：
$$\int_{0}^{\infty} Ax{e}^{-x} dx = A\left[-x{e}^{-x}\right]_{0}^{\infty} + A\int_{0}^{\infty} {e}^{-x} dx$$
$$= A\left[0 - 0\right] + A\left[-{e}^{-x}\right]_{0}^{\infty}$$
$$= A\left[0 - (-1)\right]$$
$$= A$$
因此，为了使积分等于1，A必须等于1。