求证：当x＞0时，ln（1+x）＞x-(x^2)/(2)．

考查要点：本题主要考查利用导数证明不等式的方法，涉及函数单调性的判断及辅助函数的构造。

解题核心思路：

1. 构造辅助函数：将不等式转化为函数差的形式，即定义$f(x) = \ln(1+x) - \left(x - \frac{x^2}{2}\right)$。
2. 分析函数单调性：通过求导判断$f(x)$在$x > 0$时的单调性，若导数恒正，则函数递增。
3. 结合初始值推导结论：利用$f(0) = 0$及单调性，得出$f(x) > 0$，从而证明原不等式。

破题关键点：

• 正确构造辅助函数，将不等式转化为函数值的比较。
• 准确求导并化简，判断导数的符号。
• 结合函数单调性与初始值，推导最终结论。

步骤1：构造辅助函数
定义函数$f(x) = \ln(1+x) - \left(x - \frac{x^2}{2}\right)$，需证明当$x > 0$时$f(x) > 0$。

步骤2：求导分析单调性
计算$f(x)$的导数：
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \left(1 - x\right) = \frac{1}{1+x} - 1 + x.$
通分化简：
$f'(x) = \frac{1 - (1+x) + x(1+x)}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}.$
关键结论：当$x > 0$时，$f'(x) = \frac{x^2}{1+x} > 0$，说明$f(x)$在$(0, +\infty)$上严格递增。

步骤3：结合初始值推导
计算$f(0)$：
$f(0) = \ln(1+0) - \left(0 - \frac{0^2}{2}\right) = 0.$
由于$f(x)$在$x > 0$时递增，且$f(0) = 0$，故当$x > 0$时：
$f(x) > f(0) = 0.$
即：
$\ln(1+x) > x - \frac{x^2}{2}.$