记Sn为数列(an)的前n项和．已知((2{S_n)})/(n)+n=2an+1．（1）证明：(an)是等差数列；（2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．

考查要点：本题主要考查等差数列的判定、等比数列的性质以及二次函数求最值的应用。

解题思路：

1. 第一问：通过已知条件建立关于$S_n$和$a_n$的关系式，利用相邻项的递推关系推导出$a_{n+1} - a_n$为常数，从而证明数列是等差数列。
2. 第二问：结合等差数列的通项公式和等比数列的性质，求出首项，进而得到通项表达式。通过分析数列的项的正负变化，确定前$n$项和的最小值。

破题关键：

• 构造递推式：将原式转化为关于$S_n$的方程，通过$n$与$n+1$的差分消去$S_n$，得到$a_{n+1}$与$a_n$的关系。
• 二次函数最值：利用等差数列求和公式，将$S_n$表示为关于$n$的二次函数，通过顶点位置或整数点比较求最小值。

第（1）题

建立初始方程

由题意，原式变形为：
$2S_n + n^2 = 2n a_n + n \quad \text{①}$

构造相邻项方程

将$n$替换为$n+1$，得：
$2S_{n+1} + (n+1)^2 = 2(n+1)a_{n+1} + (n+1) \quad \text{②}$

消去$S_n$，得到递推关系

② - ①得：
$2a_{n+1} + 2n + 1 = 2(n+1)a_{n+1} - 2n a_n + 1$
整理得：
$a_{n+1} = a_n + 1$
结论：公差$d=1$，数列$\{a_n\}$为等差数列。

第（2）题

设首项并代入等比条件

设首项为$a_1 = x$，公差$d=1$，则：
$a_4 = x+3, \quad a_7 = x+6, \quad a_9 = x+8$
由$a_7^2 = a_4 \cdot a_9$得：
$(x+6)^2 = (x+3)(x+8)$
解得$x = -12$，故通项公式为：
$a_n = n - 13$

分析数列项的正负

• 当$n < 13$时，$a_n < 0$；当$n=13$时，$a_n=0$；当$n > 13$时，$a_n > 0$。

求前$n$项和的最小值

前$n$项和为：
$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n(n-25)}{2}$
该二次函数开口向上，顶点在$n=12.5$，取整数$n=12$和$n=13$：
$S_{12} = S_{13} = \frac{13 \cdot (-12)}{2} = -78$