题目
函数(x,y,z)=xy+y(z)^2点(1,-1,2)处的方向导数的最大值为
函数
点(1,-1,2)处的方向导数的最大值为
题目解答
答案
解：方向导数最大值，也就是梯度方向的值，因此求梯度。
,因此梯度为
最大值也就是梯度模长
解析
步骤 1：计算函数$f(x,y,z)=xy+y{z}^{2}$在点(1,-1,2)处的梯度。
- 首先，计算$f(x,y,z)$关于$x$的偏导数${f}_{x}'(x,y,z)=y$。
- 接着，计算$f(x,y,z)$关于$y$的偏导数${f}_{y}'(x,y,z)=x+{z}^{2}$。
- 最后，计算$f(x,y,z)$关于$z$的偏导数${f}_{z}'(x,y,z)=2yz$。
步骤 2：将点(1,-1,2)代入偏导数中，求出梯度。
- ${f}_{x}'(1,-1,2)=-1$。
- ${f}_{y}'(1,-1,2)=1+{2}^{2}=5$。
- ${f}_{z}'(1,-1,2)=2(-1)(2)=-4$。
步骤 3：计算梯度的模长，即方向导数的最大值。
- 梯度为$(-1,5,-4)$。
- 梯度的模长为$\sqrt {(-1)^{2}+5^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt {1+25+16}=\sqrt {42}$。
- 首先，计算$f(x,y,z)$关于$x$的偏导数${f}_{x}'(x,y,z)=y$。
- 接着，计算$f(x,y,z)$关于$y$的偏导数${f}_{y}'(x,y,z)=x+{z}^{2}$。
- 最后，计算$f(x,y,z)$关于$z$的偏导数${f}_{z}'(x,y,z)=2yz$。
步骤 2：将点(1,-1,2)代入偏导数中，求出梯度。
- ${f}_{x}'(1,-1,2)=-1$。
- ${f}_{y}'(1,-1,2)=1+{2}^{2}=5$。
- ${f}_{z}'(1,-1,2)=2(-1)(2)=-4$。
步骤 3：计算梯度的模长，即方向导数的最大值。
- 梯度为$(-1,5,-4)$。
- 梯度的模长为$\sqrt {(-1)^{2}+5^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt {1+25+16}=\sqrt {42}$。