题目
复数z=-1-3i的三角表示式为（ ）。A、z=sqrt(10)(cos(arctan 3)+isin(arctan 3))B、z=(cos(arctan 3+pi)+isin(arctan 3+pi))C、z=sqrt(10)(cos(arctan 3+pi)+isin(arctan 3+pi))D、z=sqrt(10)(cos(arctan 3-pi)+isin(arctan 3-pi))
复数$z=-1-3i$的三角表示式为（ ）。
A、$z=\sqrt{10}(\cos(\arctan 3)+i\sin(\arctan 3))$
B、$z=(\cos(\arctan 3+\pi)+i\sin(\arctan 3+\pi))$
C、$z=\sqrt{10}(\cos(\arctan 3+\pi)+i\sin(\arctan 3+\pi))$
D、$z=\sqrt{10}(\cos(\arctan 3-\pi)+i\sin(\arctan 3-\pi))$
题目解答
答案
复数 $ z = -1 - 3i $ 的模长为：
\[
r = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{10}
\]
幅角 $ \theta $ 满足 $ \tan \theta = 3 $，且 $ z $ 在第三象限，故：
\[
\theta = \pi + \arctan 3
\]
因此，三角表示式为：
\[
z = \sqrt{10} \left[ \cos (\pi + \arctan 3) + i \sin (\pi + \arctan 3) \right]
\]
选项 A 错误，因幅角不在第三象限；选项 B 错误，因模长不符；选项 D 虽等效但不符合主值范围。
答案：C. $ z = \sqrt{10} \left[ \cos (\arctan 3 + \pi) + i \sin (\arctan 3 + \pi) \right] $