题目
24.（3.0分）z=sqrt(x^2)+y^(2)在在（0，0）连续，且存在偏导：（）A. 对B. 错
24.（3.0分）$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$在在（0，0）连续，且存在偏导：（）
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：检查连续性
函数 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 在点 $(0,0)$ 连续，如果当 $(x, y)$ 趋近于 $(0,0)$ 时，函数值 $ z $ 趋近于 $ z(0,0) $。首先，计算 $ z(0,0) $:
\[ z(0,0) = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0. \]
现在，考虑当 $(x, y)$ 趋近于 $(0,0)$ 时 $ z $ 的极限:
\[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \sqrt{x^2 + y^2}. \]
由于 $ \sqrt{x^2 + y^2} $ 代表点 $(x, y)$ 到原点 $(0,0)$ 的距离，当 $(x, y)$ 趋近于 $(0,0)$ 时，这个距离趋近于 0。因此，
\[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \sqrt{x^2 + y^2} = 0. \]
由于极限等于函数值 $ z(0,0) $，函数 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 在点 $(0,0)$ 连续。
步骤 2：检查偏导数的存在性
函数 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 在点 $(0,0)$ 的偏导数 $ \frac{\partial z}{\partial x} $ 和 $ \frac{\partial z}{\partial y} $ 存在，如果以下极限存在:
\[ \frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{(0,0)} = \lim_{h \to 0} \frac{z(h,0) - z(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h^2 + 0^2} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}, \]
\[ \frac{\partial z}{\partial y} \bigg|_{(0,0)} = \lim_{h \to 0} \frac{z(0,h) - z(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{0^2 + h^2} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}. \]
极限 $ \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h} $ 不存在，因为当 $ h $ 从正方向趋近于 0 时， $ \frac{|h|}{h} = 1 $，而当 $ h $ 从负方向趋近于 0 时， $ \frac{|h|}{h} = -1 $。因此，偏导数 $ \frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{(0,0)} $ 和 $ \frac{\partial z}{\partial y} \bigg|_{(0,0)} $ 不存在。
### 结论
函数 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 在点 $(0,0)$ 连续，但偏导数不存在。因此，正确答案是:
\[ \boxed{B} \]
函数 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 在点 $(0,0)$ 连续，如果当 $(x, y)$ 趋近于 $(0,0)$ 时，函数值 $ z $ 趋近于 $ z(0,0) $。首先，计算 $ z(0,0) $:
\[ z(0,0) = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0. \]
现在，考虑当 $(x, y)$ 趋近于 $(0,0)$ 时 $ z $ 的极限:
\[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \sqrt{x^2 + y^2}. \]
由于 $ \sqrt{x^2 + y^2} $ 代表点 $(x, y)$ 到原点 $(0,0)$ 的距离，当 $(x, y)$ 趋近于 $(0,0)$ 时，这个距离趋近于 0。因此，
\[ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \sqrt{x^2 + y^2} = 0. \]
由于极限等于函数值 $ z(0,0) $，函数 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 在点 $(0,0)$ 连续。
步骤 2：检查偏导数的存在性
函数 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 在点 $(0,0)$ 的偏导数 $ \frac{\partial z}{\partial x} $ 和 $ \frac{\partial z}{\partial y} $ 存在，如果以下极限存在:
\[ \frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{(0,0)} = \lim_{h \to 0} \frac{z(h,0) - z(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{h^2 + 0^2} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}, \]
\[ \frac{\partial z}{\partial y} \bigg|_{(0,0)} = \lim_{h \to 0} \frac{z(0,h) - z(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{0^2 + h^2} - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}. \]
极限 $ \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h} $ 不存在，因为当 $ h $ 从正方向趋近于 0 时， $ \frac{|h|}{h} = 1 $，而当 $ h $ 从负方向趋近于 0 时， $ \frac{|h|}{h} = -1 $。因此，偏导数 $ \frac{\partial z}{\partial x} \bigg|_{(0,0)} $ 和 $ \frac{\partial z}{\partial y} \bigg|_{(0,0)} $ 不存在。
### 结论
函数 $ z = \sqrt{x^2 + y^2} $ 在点 $(0,0)$ 连续，但偏导数不存在。因此，正确答案是:
\[ \boxed{B} \]