题目
【例43】lim_(ntoinfty)((1)/(n+1)+(1)/(n+2)+...+(1)/(n+n))=____
【例43】$\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n})=$____
题目解答
答案
将原和式重写为：
\[
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}}
\]
当 $n \to \infty$ 时，该和式收敛到定积分：
\[
\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} \, dx = \left[ \ln |1+x| \right]_{0}^{1} = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2
\]
或者利用调和级数渐近行为 $H_n \approx \ln n + \gamma$，得：
\[
H_{2n} - H_n \approx \ln (2n) - \ln n = \ln 2
\]
答案：$\boxed{\ln 2}$