7.计算下列定积分.-|||-(3) (int )_(dfrac {pi )(4)}^dfrac (pi {3)}dfrac (x)({sin )^2x}dx

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是分部积分法的应用，以及对三角函数积分公式的掌握。

解题核心思路：

1. 分部积分法的选择：将被积函数拆分为$x$和$\frac{1}{\sin^2 x}$，通过合理选择$u$和$dv$简化积分。
2. 三角函数积分：利用$\int \cot x \, dx = \ln |\sin x| + C$的公式完成剩余积分。
3. 代数化简：对结果中的根式进行有理化处理，确保答案形式规范。

破题关键点：

• 正确选择分部积分中的$u$和$dv$，使积分过程简化。
• 准确计算分部积分后的剩余积分，避免符号错误。
• 代入上下限时注意三角函数值的准确性，如$\cot \frac{\pi}{3}$和$\cot \frac{\pi}{4}$的值。

分部积分法应用

1. 设定变量：
   设$u = x$，则$du = dx$；
   设$dv = \frac{1}{\sin^2 x} dx$，则$v = -\cot x$（因为$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x$）。

2. 分部积分公式：
   $\int u \, dv = uv - \int v \, du$
   代入得：
   $\int \frac{x}{\sin^2 x} dx = -x \cot x + \int \cot x \, dx$

3. 计算剩余积分：
   $\int \cot x \, dx = \ln |\sin x| + C$。

代入上下限

1. 第一部分：
   $\left[ -x \cot x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = \left( -\frac{\pi}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \right) - \left( -\frac{\pi}{4} \cdot 1 \right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$

2. 第二部分：
   $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \cot x \, dx = \ln \sin x \Big|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = \ln \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}$

3. 合并结果：
   $\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}$

4. 有理化处理：
   $\frac{\pi}{3\sqrt{3}} = \frac{\pi \sqrt{3}}{9}$，最终结果为：
   $\left( \frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{9} \right) \pi + \frac{1}{2} \ln \frac{3}{2}$