题目
如图所示，有三个点电荷Q1 、Q2 、Q3 沿一条直线等间距分布且Q1 ＝Q3＝Q.已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q1 、Q3 的情况下，将Q2从点O 移到无穷远处外力所作的功.Q1 O (2)2 _(3)-|||-d d x-|||-题 5-22 图
如图所示，有三个点电荷Q1 、Q2 、Q3 沿一条直线等间距分布且Q1 ＝Q3 ＝Q.已知其中任一点电荷所受合力均为零，求在固定Q1 、Q3 的情况下，将Q2从点O 移到无穷远处外力所作的功.
题目解答
答案
分析 由库仑力的定义，根据Q1 、Q3 所受合力为零可求得Q2 .外力作功W′应等于电场力作功W 的负值，即W′＝－W.求电场力作功的方法有两种：(1)根据功的定义，电场力作的功为
其中E 是点电荷Q1 、Q3 产生的合电场强度.
(2) 根据电场力作功与电势能差的关系，有
其中V0 是Q1 、Q3 在点O 产生的电势(取无穷远处为零电势).
解1 由题意Q1 所受的合力为零
解得
由点电荷电场的叠加，Q1 、Q3 激发的电场在y 轴上任意一点的电场强度为
将Q2 从点O 沿y 轴移到无穷远处，(沿其他路径所作的功相同，请想一想为什么？)外力所作的功为
解2 与解1相同，在任一点电荷所受合力均为零时
，并由电势
的叠加得Q1 、Q3 在点O 的电势
将Q2 从点O 推到无穷远处的过程中，外力作功
比较上述两种方法，显然用功与电势能变化的关系来求解较为简洁.这是因为在许多实际问题中直接求电场分布困难较大，而求电势分布要简单得多.
解析
步骤 1：确定Q2的电荷量
根据题目条件，Q1和Q3所受的合力为零，可以列出库仑力的平衡方程。由于Q1和Q3的电荷量相等，且Q2位于它们之间，因此Q2的电荷量必须与Q1和Q3的电荷量相反，以使它们之间的库仑力相互抵消。根据库仑定律，可以得到Q2的电荷量为$Q_2 = -\frac{1}{4}Q$。
步骤 2：计算Q2从点O移动到无穷远处的电场力作功
由于Q1和Q3的电荷量相等，它们在点O处产生的电势为$V_0 = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 d}$。将Q2从点O移动到无穷远处，电场力作功为$W = Q_2 V_0$。由于Q2的电荷量为$-\frac{1}{4}Q$，因此电场力作功为$W = -\frac{1}{4}Q \cdot \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 d} = -\frac{Q^2}{8\pi \varepsilon_0 d}$。
步骤 3：计算外力作功
外力作功为电场力作功的负值，即$W' = -W = \frac{Q^2}{8\pi \varepsilon_0 d}$。
根据题目条件，Q1和Q3所受的合力为零，可以列出库仑力的平衡方程。由于Q1和Q3的电荷量相等，且Q2位于它们之间，因此Q2的电荷量必须与Q1和Q3的电荷量相反，以使它们之间的库仑力相互抵消。根据库仑定律，可以得到Q2的电荷量为$Q_2 = -\frac{1}{4}Q$。
步骤 2：计算Q2从点O移动到无穷远处的电场力作功
由于Q1和Q3的电荷量相等，它们在点O处产生的电势为$V_0 = \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 d}$。将Q2从点O移动到无穷远处，电场力作功为$W = Q_2 V_0$。由于Q2的电荷量为$-\frac{1}{4}Q$，因此电场力作功为$W = -\frac{1}{4}Q \cdot \frac{Q}{2\pi \varepsilon_0 d} = -\frac{Q^2}{8\pi \varepsilon_0 d}$。
步骤 3：计算外力作功
外力作功为电场力作功的负值，即$W' = -W = \frac{Q^2}{8\pi \varepsilon_0 d}$。