32.求极限 lim(1+2+···+n)

考查要点：本题主要考查等差数列求和公式的应用以及极限的计算，需要学生掌握将复杂表达式化简为易于求极限的形式的能力。

解题核心思路：

1. 识别分子结构：分子是前$n$个自然数的和，可直接应用等差数列求和公式简化。
2. 化简分式：将分子和分母的表达式展开后，分离出主导项和低阶项，利用极限的运算性质求解。
3. 极限运算：通过观察分式中各项的阶数，确定极限值。

破题关键点：

• 等差数列求和公式：$1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$。
• 分式化简：将分子和分母的最高次项约分，保留主要项。

步骤1：应用等差数列求和公式
分子$1 + 2 + \cdots + n$可表示为：
$1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$

步骤2：代入原式并化简
将分子代入原式：
$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{\dfrac{n(n+1)}{2}}{n^2} = \lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{n(n+1)}{2n^2}$

步骤3：约分并拆分项
分子展开为$n^2 + n$，分母为$2n^2$，拆分后得到：
$\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac{n^2 + n}{2n^2} = \lim _{n\rightarrow \infty }\left( \dfrac{n^2}{2n^2} + \dfrac{n}{2n^2} \right) = \lim _{n\rightarrow \infty }\left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2n} \right)$

步骤4：计算极限
当$n \rightarrow \infty$时，$\dfrac{1}{2n} \rightarrow 0$，因此：
$\lim _{n\rightarrow \infty }\left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2n} \right) = \dfrac{1}{2}$