题目

（多选）11.（6分）双曲线C:(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F_(1),F_(2)，左、右顶点分别为A_(1),A_(2)，以F_(1)F_(2)为直径的圆与曲线C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA_(1)M=(5pi)/(6)，则（）A. ∠A_(1)MA_(2)=(pi)/(6)B. |MA_(1)|=2|MA_(2)|C. 的离心率为sqrt(13)D. 当a=sqrt(2)时，四边形NA_(1)MA_(2)的面积为8sqrt(3)

（多选）11.（6分）双曲线C:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0,b>0)$的左、右焦点分别是$F_{1},F_{2}$，左、右顶点分别为$A_{1},A_{2}$，以$F_{1}F_{2}$为直径的圆与曲线C的一条渐近线交于M，N两点，且∠$NA_{1}M=\frac{5\pi}{6}$，则（）

A. ∠$A_{1}MA_{2}=\frac{\pi}{6}$

B. |$MA_{1}$|=2|$MA_{2}$|

C. 的离心率为$\sqrt{13}$

D. 当$a=\sqrt{2}$时，四边形$NA_{1}MA_{2}$的面积为$8\sqrt{3}$

题目解答

答案

ACD
A. ∠$A_{1}MA_{2}=\frac{\pi}{6}$
C. 的离心率为$\sqrt{13}$
D. 当$a=\sqrt{2}$时，四边形$NA_{1}MA_{2}$的面积为$8\sqrt{3}$

解析

本题考查双曲线的几何性质，涉及渐近线方程、焦点位置、离心率计算，以及几何图形中的角度和距离关系。关键点在于利用渐近线与圆的交点坐标，结合向量夹角公式推导双曲线参数关系，进而判断各选项的正确性。

选项A：∠$A_1MA_2=\frac{\pi}{6}$

  1. 确定点坐标：
    • $M(a, b)$，$A_1(-a, 0)$，$A_2(a, 0)$。
  2. 计算向量：
    • $\overrightarrow{MA_1} = (-2a, -b)$，$\overrightarrow{MA_2} = (0, -b)$。
  3. 计算夹角：
    • 点积：$\overrightarrow{MA_1} \cdot \overrightarrow{MA_2} = b^2$，模长：$|\overrightarrow{MA_1}| = \sqrt{4a^2 + b^2}$，$|\overrightarrow{MA_2}| = b$。
    • $\cos\theta = \frac{b}{\sqrt{4a^2 + b^2}}$，结合$b=2\sqrt{3}a$，得$\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$，故$\theta = \frac{\pi}{6}$。
      结论：正确。

选项B：$|MA_1|=2|MA_2|$

  1. 计算距离：
    • $|MA_1| = \sqrt{4a^2 + b^2} = 4a$，$|MA_2| = b = 2\sqrt{3}a$。
    • $4a \neq 2 \cdot 2\sqrt{3}a$。
      结论：错误。

选项C：离心率为$\sqrt{13}$

  1. 离心率公式：
    • $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + 12} = \sqrt{13}$。
      结论：正确。

选项D：当$a=\sqrt{2}$时，面积为$8\sqrt{3}$

  1. 确定坐标：
    • $a=\sqrt{2}$，$b=2\sqrt{6}$，点$N(-\sqrt{2}, -2\sqrt{6})$，$M(\sqrt{2}, 2\sqrt{6})$。
  2. 应用鞋带公式：
    • 面积$= \frac{1}{2} \left| -16\sqrt{3} \right| = 8\sqrt{3}$。
      结论：正确。