题目
【题目】曲线 y=(e^x)/(1+x) )A有一个拐点B有两个拐点c.有三个拐点D无拐点
【题目】曲线 y=(e^x)/(1+x) )A有一个拐点B有两个拐点c.有三个拐点D无拐点
题目解答
答案
【解析】[答案]D【精析】因 y'=(xe^x)/((1+x)^2),y'=(e^x(1+x^2))/((1+x)^b) ,则y在定义域内恒不等于0且无二阶不可导点,所以无拐点
解析
步骤 1：求一阶导数
对函数 \( y=\frac{e^x}{1+x} \) 求一阶导数，使用商的求导法则：
\[ y' = \frac{(1+x)e^x - e^x}{(1+x)^2} = \frac{xe^x}{(1+x)^2} \]
步骤 2：求二阶导数
对一阶导数 \( y' = \frac{xe^x}{(1+x)^2} \) 求二阶导数，使用商的求导法则：
\[ y'' = \frac{(1+x)^2(xe^x + e^x) - 2(1+x)xe^x}{(1+x)^4} = \frac{e^x(1+x^2)}{(1+x)^3} \]
步骤 3：判断拐点
拐点是二阶导数变号的点。观察二阶导数 \( y'' = \frac{e^x(1+x^2)}{(1+x)^3} \)，由于 \( e^x > 0 \) 且 \( 1+x^2 > 0 \)，分母 \( (1+x)^3 \) 在 \( x \neq -1 \) 时也大于0，因此 \( y'' \) 在定义域内恒正，不改变符号，所以没有拐点。
对函数 \( y=\frac{e^x}{1+x} \) 求一阶导数，使用商的求导法则：
\[ y' = \frac{(1+x)e^x - e^x}{(1+x)^2} = \frac{xe^x}{(1+x)^2} \]
步骤 2：求二阶导数
对一阶导数 \( y' = \frac{xe^x}{(1+x)^2} \) 求二阶导数，使用商的求导法则：
\[ y'' = \frac{(1+x)^2(xe^x + e^x) - 2(1+x)xe^x}{(1+x)^4} = \frac{e^x(1+x^2)}{(1+x)^3} \]
步骤 3：判断拐点
拐点是二阶导数变号的点。观察二阶导数 \( y'' = \frac{e^x(1+x^2)}{(1+x)^3} \)，由于 \( e^x > 0 \) 且 \( 1+x^2 > 0 \)，分母 \( (1+x)^3 \) 在 \( x \neq -1 \) 时也大于0，因此 \( y'' \) 在定义域内恒正，不改变符号，所以没有拐点。