【题目】曲线 y=(e^x)/(1+x) )A有一个拐点B有两个拐点c.有三个拐点D无拐点

考查要点：本题主要考查拐点的判定方法，涉及导数的计算及函数凹凸性的判断。

解题核心思路：

1. 拐点的本质是曲线凹凸性发生改变的点，因此需要通过二阶导数的符号变化来判断。
2. 关键步骤包括：
   • 计算一阶导数和二阶导数；
   • 分析二阶导数的符号变化；
   • 确定是否存在凹凸性改变的点。

破题关键点：

• 二阶导数的表达式化简后为 $y'' = \frac{e^x(1+x^2)}{(1+x)^3}$，分子恒正，分母符号由 $(1+x)^3$ 决定。
• 符号分析：当 $x > -1$ 时，分母为正，二阶导数恒正；当 $x < -1$ 时，分母为负，二阶导数恒负。因此，二阶导数的符号在定义域内始终不变，不存在拐点。

1. 求一阶导数 $y'$

利用商的导数法则：
$y' = \frac{(e^x)'(1+x) - e^x(1+x)'}{(1+x)^2} = \frac{e^x(1+x) - e^x}{(1+x)^2} = \frac{xe^x}{(1+x)^2}$

2. 求二阶导数 $y''$

再次对 $y'$ 求导：
$y'' = \frac{(xe^x)'(1+x)^2 - xe^x \cdot 2(1+x)}{(1+x)^4}$
计算分子部分：

• $(xe^x)' = e^x(x+1)$
• 分子化简为：
  $e^x(x+1)(1+x)^2 - 2xe^x(1+x) = e^x(1+x)[(1+x)^2 - 2x] = e^x(1+x)(1+x^2)$
  因此：
  $y'' = \frac{e^x(1+x^2)}{(1+x)^3}$

3. 分析二阶导数的符号

• 分子 $e^x(1+x^2)$ 恒正（$e^x > 0$，$1+x^2 > 0$）。
• 分母 $(1+x)^3$ 的符号：
  • 当 $x > -1$ 时，分母为正，$y'' > 0$；
  • 当 $x < -1$ 时，分母为负，$y'' < 0$。

4. 判断拐点

• 在 $x > -1$ 区间内，$y''$ 恒正，曲线始终凹向上；
• 在 $x < -1$ 区间内，$y''$ 恒负，曲线始终凹向下；
• 二阶导数的符号无变化，因此无拐点。