6、用定义证明柯西数列极限命题:如果lim an-|||-n→∞-|||-存在,则 lim _(narrow infty )dfrac ({a)_(1)+(a)_(2)+... +(a)_(n)}(n) 也存在,-|||-n-|||-不仅存在,而且-|||-lim -1/+a2+···+an =liman·-|||-n→∞ n n→∞-|||-试问该命题的逆命题是否成立?如果成立请证-|||-明,如果不成立,请举例说明.

考查要点：本题考察柯西数列极限命题的逆命题是否成立，需要理解原命题的条件与结论，并通过构造反例判断逆命题的真伪。

解题核心思路：

1. 原命题：若数列$\{a_n\}$收敛，则其平均数列$\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$也收敛且极限相同。
2. 逆命题：若平均数列收敛，则原数列$\{a_n\}$一定收敛。
3. 关键点：通过构造一个平均数列收敛但原数列发散的例子，证明逆命题不成立。

破题关键：

• 反例选择：寻找一个数列$\{a_n\}$本身发散，但其前$n$项和的平均值趋于某个固定值。
• 典型例子：利用摆动数列（如$a_n = (-1)^n$），其平均数列趋于0，但原数列发散。

逆命题的反例构造

步骤1：构造发散数列
取数列$a_n = (-1)^n$，其项值在$1$和$-1$之间无限摆动，显然不收敛。

步骤2：计算平均数列
前$n$项和为：
$S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^k = \begin{cases}0, & n \text{为偶数}, \\-1, & n \text{为奇数}.\end{cases}$

平均数列为：
$\frac{S_n}{n} = \begin{cases}0, & n \text{为偶数}, \\-\frac{1}{n}, & n \text{为奇数}.\end{cases}$

步骤3：分析平均数列的极限
当$n \to \infty$时：

• 偶数项$\frac{S_n}{n} = 0 \to 0$；
• 奇数项$\frac{S_n}{n} = -\frac{1}{n} \to 0$。

因此，$\lim_{n \to \infty} \frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n} = 0$存在，但原数列$\{a_n\}$不收敛。