题目

设随机变量的密度函数为f(x)=}c+x,&-1<0c-x,&0le x<10,&else，则X的数学期望为（）.A 0B 1C -1D 2

设随机变量的密度函数为 $f(x)=\begin{cases}c+x,&-1<0\\c-x,&0\le x<1\\0,&else\end{cases}$， 则X的数学期望为（）. A 0 B 1 C -1 D 2

题目解答

答案

为了找到随机变量 $ X $ 的数学期望，我们首先需要确定常数 $ c $ 的值。概率密度函数 $ f(x) $ 必须满足在所有 $ x $ 上的积分等于1的条件。函数 $ f(x) $ 定义为： \[ f(x) = \begin{cases} c + x, & -1 < x < 0 \\ c - x, & 0 \le x < 1 \\ 0, & \text{else} \end{cases} \] 我们需要计算 $ f(x) $ 在 $ -1 $ 到 $ 1 $ 的积分，并将其设置为1： \[ \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \int_{-1}^{0} (c + x) \, dx + \int_{0}^{1} (c - x) \, dx = 1 \] 让我们分别计算每个积分。从 $ -1 $ 到 $ 0 $ 的积分是： \[ \int_{-1}^{0} (c + x) \, dx = \left[ cx + \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} = \left( c \cdot 0 + \frac{0^2}{2} \right) - \left( c \cdot (-1) + \frac{(-1)^2}{2} \right) = 0 - (-c + \frac{1}{2}) = c - \frac{1}{2} \] 从 $ 0 $ 到 $ 1 $ 的积分是： \[ \int_{0}^{1} (c - x) \, dx = \left[ cx - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \left( c \cdot 1 - \frac{1^2}{2} \right) - \left( c \cdot 0 - \frac{0^2}{2} \right) = \left( c - \frac{1}{2} \right) - 0 = c - \frac{1}{2} \] 将这两个结果相加，我们得到： \[ c - \frac{1}{2} + c - \frac{1}{2} = 2c - 1 \] 将其设置为1，我们有： \[ 2c - 1 = 1 \] \[ 2c = 2 \] \[ c = 1 \] 现在我们已经确定了 $ c = 1 $，密度函数变为： \[ f(x) = \begin{cases} 1 + x, & -1 < x < 0 \\ 1 - x, & 0 \le x < 1 \\ 0, & \text{else} \end{cases} \] 接下来，我们计算数学期望 $ E(X) $。数学期望由 $ x $ 和其密度函数 $ f(x) $ 的乘积在所有 $ x $ 上的积分给出： \[ E(X) = \int_{-1}^{1} x f(x) \, dx = \int_{-1}^{0} x (1 + x) \, dx + \int_{0}^{1} x (1 - x) \, dx \] 让我们分别计算每个积分。从 $ -1 $ 到 $ 0 $ 的积分是： \[ \int_{-1}^{0} x (1 + x) \, dx = \int_{-1}^{0} (x + x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0} = \left( \frac{0^2}{2} + \frac{0^3}{3} \right) - \left( \frac{(-1)^2}{2} + \frac{(-1)^3}{3} \right) = 0 - \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = - \left( \frac{3}{6} - \frac{2}{6} \right) = - \frac{1}{6} \] 从 $ 0 $ 到 $ 1 $ 的积分是： \[ \int_{0}^{1} x (1 - x) \, dx = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{3} \right) = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - 0 = \frac{1}{6} \] 将这两个结果相加，我们得到： \[ - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = 0 \] 因此，数学期望 $ E(X) $ 是： \[ \boxed{A} \]

解析

本题考查随机变量数学期望的计算以及概率密度函数的性质。解题思路如下：

  1. 首先，根据概率密度函数的性质，即概率密度函数在整个定义域上的积分值为$1$，求出常数$c$的值。
  2. 然后，将求出的$c$值代入概率密度函数$f(x)$中。
  3. 最后，根据数学期望的定义，即随机变量$X$的数学期望$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$，计算$X$的数学期望。

步骤一：求常数$c$的值

已知概率密度函数$f(x)=\begin{cases}c+x, & -1<x<0\\c-x, & 0\le x<1\\0, & \text{else}\end{cases}$，根据概率密度函数的性质$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$，可得：
$\int_{-1}^{1}f(x)dx=\int_{-1}^{0}(c + x)dx + \int_{0}^{1}(c - x)dx = 1$
分别计算两个积分：

  • 计算$\int_{-1}^{0}(c + x)dx$：
    根据积分公式$\int(ax+b)dx=\frac{ax^2}{2}+bx+C$，可得$\int_{-1}^{0}(c + x)dx = \left[cx + \frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{0}$
    $=\left(c\cdot0 + \frac{0^2}{2}\right) - \left(c\cdot(-1) + \frac{(-1)^2}{2}\right)=0 - (-c + \frac{1}{2}) = c - \frac{1}{2}$
  • 计算$\int_{0}^{1}(c - x)dx$：
    同理可得$\int_{0}^{1}(c - x)dx = \left[cx - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1}$
    $=\left(c\cdot1 - \frac{1^2}{2}\right) - \left(c\cdot0 - \frac{0^2}{2}\right) = c - \frac{1}{2}$
    将两个积分结果相加：
    $c - \frac{1}{2} + c - \frac{1}{2} = 2c - 1$
    令$2c - 1 = 1$，解方程可得：
    $2c = 2$，即$c = 1$

步骤二：确定概率密度函数$f(x)$

将$c = 1$代入$f(x)$，可得$f(x)=\begin{cases}1 + x, & -1<x<0\\1 - x, & 0\le x<1\\0, & \text{else}\end{cases}$

步骤三：计算数学期望$E(X)$

根据数学期望的定义$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$，可得：
$E(X)=\int_{-1}^{1}xf(x)dx=\int_{-1}^{0}x(1 + x)dx + \int_{0}^{1}x(1 - x)dx$
分别计算两个积分：

  • 计算$\int_{-1}^{0}x(1 + x)dx$：
    先将被积函数展开$x(1 + x)=x + x^2$，则$\int_{-1}^{0}x(1 + x)dx = \int_{-1}^{0}(x + x^2)dx$
    $=\left[\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{0}=\left(\frac{0^2}{2} + \frac{0^3}{3}\right) - \left(\frac{(-1)^2}{2} + \frac{(-1)^3}{3}\right)=0 - \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right)= - \left(\frac{3}{6} - \frac{2}{6}\right)= - \frac{1}{6}$
  • 计算$\int_{0}^{1}x(1 - x)dx$：
    先将被积函数展开$x(1 - x)=x - x^2$，则$\int_{0}^{1}x(1 - x)dx = \int_{0}^{1}(x - x^2)dx$
    $=\left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}=\left(\frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3}\right) - \left(\frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{3}\right)=\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$
    将两个积分结果相加：
    $-\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = 0$