题目
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知sinA+sqrt(3)cosA=2．（1）求A；（2）若a=2，sqrt(2)bsinC=csin2B，求△ABC周长．
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知$sinA+\sqrt{3}cosA=2$．
（1）求A；
（2）若a=2，$\sqrt{2}bsinC=csin2B$，求△ABC周长．
（1）求A；
（2）若a=2，$\sqrt{2}bsinC=csin2B$，求△ABC周长．
题目解答
答案
解：（1）因为$sinA+\sqrt{3}cosA=2$，
所以2sin（A+$\frac{π}{3}$）=2，即sin（A+$\frac{π}{3}$）=1，
由A为三角形内角，得A+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，
即A=$\frac{π}{6}$；
（2）因为$\sqrt{2}bsinc=csin2B$，
$\sqrt{2}bsinC=2csinBcosB$，由正弦定理可得：$\sqrt{2}bc=2bccosB$，
可得$cosB=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又因为B∈（0，π），所以$B=\frac{π}{4}$，$C=π-A-B=\frac{7}{12}π$，
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$，
所以$b=4sinB=2\sqrt{2}$，$c=4sinC=4sin\frac{7π}{12}=4sin（\frac{π}{4}+\frac{π}{3}）=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，
所以△ABC的周长为$a+b+c=2+3\sqrt{2}+\sqrt{6}$．
综上，△ABC的周长为$2+3\sqrt{2}+\sqrt{6}$．
所以2sin（A+$\frac{π}{3}$）=2，即sin（A+$\frac{π}{3}$）=1，
由A为三角形内角，得A+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，
即A=$\frac{π}{6}$；
（2）因为$\sqrt{2}bsinc=csin2B$，
$\sqrt{2}bsinC=2csinBcosB$，由正弦定理可得：$\sqrt{2}bc=2bccosB$，
可得$cosB=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又因为B∈（0，π），所以$B=\frac{π}{4}$，$C=π-A-B=\frac{7}{12}π$，
在△ABC中，由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$，
所以$b=4sinB=2\sqrt{2}$，$c=4sinC=4sin\frac{7π}{12}=4sin（\frac{π}{4}+\frac{π}{3}）=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，
所以△ABC的周长为$a+b+c=2+3\sqrt{2}+\sqrt{6}$．
综上，△ABC的周长为$2+3\sqrt{2}+\sqrt{6}$．
解析
步骤 1：化简给定的等式
给定的等式是$sinA+\sqrt{3}cosA=2$。我们可以通过三角恒等变换来化简这个等式。注意到$sinA+\sqrt{3}cosA$可以写成$2sin(A+\frac{\pi}{3})$的形式，因为$sinA+\sqrt{3}cosA=2(\frac{1}{2}sinA+\frac{\sqrt{3}}{2}cosA)=2sin(A+\frac{\pi}{3})$。
步骤 2：求解A
由于$sin(A+\frac{\pi}{3})=1$，且$A$是三角形的内角，所以$A+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$，从而$A=\frac{\pi}{6}$。
【答案】
$A=\frac{\pi}{6}$
（2）求△ABC周长
【解析】
步骤 1：化简给定的等式
给定的等式是$\sqrt{2}bsinC=csin2B$。利用正弦定理，可以将边长和角的关系转换为角的关系。由于$sin2B=2sinBcosB$，所以等式可以写为$\sqrt{2}bsinC=2csinBcosB$。
步骤 2：利用正弦定理
由正弦定理，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，且已知$a=2$，$A=\frac{\pi}{6}$，所以$\frac{2}{sin\frac{\pi}{6}}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=4$。
步骤 3：求解B和C
由于$\sqrt{2}bsinC=2csinBcosB$，代入$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=4$，得到$\sqrt{2}sinC=2sinBcosB$，即$\sqrt{2}sinC=2sinBcosB$。由于$sinBcosB=\frac{1}{2}sin2B$，所以$\sqrt{2}sinC=sin2B$。由于$A=\frac{\pi}{6}$，所以$B+C=\frac{5\pi}{6}$。结合$\sqrt{2}sinC=sin2B$，可以求得$B=\frac{\pi}{4}$，$C=\frac{7\pi}{12}$。
步骤 4：求解b和c
由$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=4$，可以求得$b=4sinB=2\sqrt{2}$，$c=4sinC=4sin\frac{7\pi}{12}=4sin(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3})=4(\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2})=\sqrt{6}+\sqrt{2}$。
步骤 5：求解△ABC周长
△ABC的周长为$a+b+c=2+2\sqrt{2}+\sqrt{6}+\sqrt{2}=2+3\sqrt{2}+\sqrt{6}$。
给定的等式是$sinA+\sqrt{3}cosA=2$。我们可以通过三角恒等变换来化简这个等式。注意到$sinA+\sqrt{3}cosA$可以写成$2sin(A+\frac{\pi}{3})$的形式，因为$sinA+\sqrt{3}cosA=2(\frac{1}{2}sinA+\frac{\sqrt{3}}{2}cosA)=2sin(A+\frac{\pi}{3})$。
步骤 2：求解A
由于$sin(A+\frac{\pi}{3})=1$，且$A$是三角形的内角，所以$A+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}$，从而$A=\frac{\pi}{6}$。
【答案】
$A=\frac{\pi}{6}$
（2）求△ABC周长
【解析】
步骤 1：化简给定的等式
给定的等式是$\sqrt{2}bsinC=csin2B$。利用正弦定理，可以将边长和角的关系转换为角的关系。由于$sin2B=2sinBcosB$，所以等式可以写为$\sqrt{2}bsinC=2csinBcosB$。
步骤 2：利用正弦定理
由正弦定理，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，且已知$a=2$，$A=\frac{\pi}{6}$，所以$\frac{2}{sin\frac{\pi}{6}}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=4$。
步骤 3：求解B和C
由于$\sqrt{2}bsinC=2csinBcosB$，代入$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=4$，得到$\sqrt{2}sinC=2sinBcosB$，即$\sqrt{2}sinC=2sinBcosB$。由于$sinBcosB=\frac{1}{2}sin2B$，所以$\sqrt{2}sinC=sin2B$。由于$A=\frac{\pi}{6}$，所以$B+C=\frac{5\pi}{6}$。结合$\sqrt{2}sinC=sin2B$，可以求得$B=\frac{\pi}{4}$，$C=\frac{7\pi}{12}$。
步骤 4：求解b和c
由$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=4$，可以求得$b=4sinB=2\sqrt{2}$，$c=4sinC=4sin\frac{7\pi}{12}=4sin(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3})=4(\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2})=\sqrt{6}+\sqrt{2}$。
步骤 5：求解△ABC周长
△ABC的周长为$a+b+c=2+2\sqrt{2}+\sqrt{6}+\sqrt{2}=2+3\sqrt{2}+\sqrt{6}$。