题目
求下列函数的奇点:(1)dfrac (z+1)(z({z)^2+1)}; (2)dfrac (z+1)(z({z)^2+1)}
求下列函数的奇点:
(1)
; (2)
题目解答
答案
解 (1)
在分母为零的点
,
处不解析,其奇点为0,±i.
(2)
在分母为零的点
,处不解析,其奇点为-1,±i.
复变函数作业6 初等函数
解析
步骤 1：确定奇点
奇点是函数不解析的点，即函数的分母为零的点。对于复变函数，奇点可以是孤立奇点，包括可去奇点、极点和本性奇点。我们首先找出分母为零的点，然后确定这些点的性质。
步骤 2：分析第一个函数
对于函数$f(z)=\dfrac {z+1}{z({z}^{2}+1)}$，分母为$z({z}^{2}+1)$。令分母为零，得到$z({z}^{2}+1)=0$。解这个方程，得到$z=0$和$z^{2}+1=0$。解$z^{2}+1=0$，得到$z=\pm i$。因此，函数$f(z)$的奇点为$z=0$和$z=\pm i$。
步骤 3：分析第二个函数
对于函数$f(z)=\dfrac {z-2}{{(z+1)}^{2}({z}^{2}+1)}$，分母为${(z+1)}^{2}({z}^{2}+1)$。令分母为零，得到${(z+1)}^{2}({z}^{2}+1)=0$。解这个方程，得到$z+1=0$和$z^{2}+1=0$。解$z+1=0$，得到$z=-1$。解$z^{2}+1=0$，得到$z=\pm i$。因此，函数$f(z)$的奇点为$z=-1$和$z=\pm i$。
奇点是函数不解析的点，即函数的分母为零的点。对于复变函数，奇点可以是孤立奇点，包括可去奇点、极点和本性奇点。我们首先找出分母为零的点，然后确定这些点的性质。
步骤 2：分析第一个函数
对于函数$f(z)=\dfrac {z+1}{z({z}^{2}+1)}$，分母为$z({z}^{2}+1)$。令分母为零，得到$z({z}^{2}+1)=0$。解这个方程，得到$z=0$和$z^{2}+1=0$。解$z^{2}+1=0$，得到$z=\pm i$。因此，函数$f(z)$的奇点为$z=0$和$z=\pm i$。
步骤 3：分析第二个函数
对于函数$f(z)=\dfrac {z-2}{{(z+1)}^{2}({z}^{2}+1)}$，分母为${(z+1)}^{2}({z}^{2}+1)$。令分母为零，得到${(z+1)}^{2}({z}^{2}+1)=0$。解这个方程，得到$z+1=0$和$z^{2}+1=0$。解$z+1=0$，得到$z=-1$。解$z^{2}+1=0$，得到$z=\pm i$。因此，函数$f(z)$的奇点为$z=-1$和$z=\pm i$。