题目
∫x(e)^-(x^2)dx
$∫x{e}^{-{x}^{2}}dx$
题目解答
答案
解：$∫x{e}^{-{x}^{2}}dx=\frac{1}{2}∫{e}^{-{x}^{2}}d{x}^{2}=-\frac{1}{2}{e}^{-{x}^{2}}+C$．
解析
步骤 1：识别积分类型
观察到积分 $∫x{e}^{-{x}^{2}}dx$ 中的被积函数包含 $x$ 和 ${e}^{-{x}^{2}}$，其中 ${e}^{-{x}^{2}}$ 是关于 ${x}^{2}$ 的函数。这提示我们使用换元法，将 ${x}^{2}$ 视为新的变量。
步骤 2：换元
设 $u = {x}^{2}$，则 $du = 2xdx$，从而 $xdx = \frac{1}{2}du$。将 $u$ 和 $du$ 代入原积分中，得到 $∫x{e}^{-{x}^{2}}dx = \frac{1}{2}∫{e}^{-u}du$。
步骤 3：计算积分
计算 $\frac{1}{2}∫{e}^{-u}du$，得到 $-\frac{1}{2}{e}^{-u} + C$。将 $u = {x}^{2}$ 代回，得到 $-\frac{1}{2}{e}^{-{x}^{2}} + C$。
观察到积分 $∫x{e}^{-{x}^{2}}dx$ 中的被积函数包含 $x$ 和 ${e}^{-{x}^{2}}$，其中 ${e}^{-{x}^{2}}$ 是关于 ${x}^{2}$ 的函数。这提示我们使用换元法，将 ${x}^{2}$ 视为新的变量。
步骤 2：换元
设 $u = {x}^{2}$，则 $du = 2xdx$，从而 $xdx = \frac{1}{2}du$。将 $u$ 和 $du$ 代入原积分中，得到 $∫x{e}^{-{x}^{2}}dx = \frac{1}{2}∫{e}^{-u}du$。
步骤 3：计算积分
计算 $\frac{1}{2}∫{e}^{-u}du$，得到 $-\frac{1}{2}{e}^{-u} + C$。将 $u = {x}^{2}$ 代回，得到 $-\frac{1}{2}{e}^{-{x}^{2}} + C$。