已知二次型 f(x_(1),x_(2),x_(3))=x_(1)^2+ax_(2)^2+x_(3)^2+2bx_(1)x_(2)+2x_(1)x_(3)+2x_(2)x_(3)可经正交变换(x_(1),x_(2),x_(3))^T=(y_(1),y_(2),y_(3))^T化为 f(x_(1),x_(2),x_(3))=y_(2)^2+4y_(3)^2，则a,b满足（）.A. a=3,b=1B. a=-3,b=1C. a=-3,b=-1D. a=3,b=-1

本题考查二次型通过正交变换化为标准形的性质，解题的关键在于利用二次型矩阵的特征值与标准形系数的关系以及矩阵的迹和行列式的性质来确定参数 $a$ 和 $b$ 的值。

1. 写出二次型的矩阵 $A$：
   已知二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+ax_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2bx_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}$，根据二次型矩阵的定义，二次型矩阵 $A$ 中主对角线元素是平方项的系数，非主对角线元素 $a_{ij}$（$i\neq j$）是交叉项 $x_{i}x_{j}$ 系数的一半。所以二次型 $f$ 的矩阵为：
   \(A = \begin{pmatrix} 1 & b & 1 \\ b & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)
2. 根据正交变换的性质确定矩阵 $A$ 的特征值：
   因为二次型 $f(x_{1},x_{2},x_{3})$ 可经正交变换化为 $f(x_{1},x_{2},x_{3})=y_{2}^{2}+4y_{3}^{2}$，根据正交变换的性质，二次型矩阵 $A$ 的特征值就是标准形中平方项的系数。所以矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1 = 0$，$\lambda_2 = 1$，$\lambda_3 = 4$。
3. 利用矩阵的迹确定 $a$ 的值：
   矩阵的迹（主对角线元素之和）等于其所有特征值之和。对于矩阵 $A$，其迹 $tr(A)=1 + a + 1$，特征值之和为 $0 + 1 + 4 = 5$，则有：
   $1 + a + 1 = 5$
   移项可得：
   $a = 5 - 1 - 1 = 3$
4. 利用矩阵的行列式确定 $b$ 的值：
   矩阵的行列式等于其所有特征值之积。对于矩阵 $A$，其行列式 \(|A|=\begin{vmatrix} 1 & b & 1 \\ b & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}\)，特征值之积为 $0\times1\times4 = 0$，则有：
   \(\begin{vmatrix} 1 & b & 1 \\ b & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}= 0\)
   根据三阶行列式的计算公式 \(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}= a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}- a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}+ a_{13}\begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\)，可得：
   $\begin{align*}1\times\begin{vmatrix}3 & 1 \\1 & 1\end{vmatrix}- b\times\begin{vmatrix}b & 1 \\1 & 1\end{vmatrix}+ 1\times\begin{vmatrix}b & 3 \\1 & 1\end{vmatrix}&= 0\\1\times(3\times1 - 1\times1) - b\times(b\times1 - 1\times1) + 1\times(b\times1 - 3\times1) &= 0\\1\times(3 - 1) - b\times(b - 1) + 1\times(b - 3) &= 0\\2 - b^2 + b + b - 3 &= 0\\-b^2 + 2b - 1 &= 0\\b^2 - 2b + 1 &= 0\\(b - 1)^2 &= 0\end{align*}$
   解得 $b = 1$。