题目
设 E 是 mathbb(R)^n 中的可测集，f(x) 为 E 上的可测函数，若 int_(E) f(x), dx = 0，则（）A. 在 E 上，f(z) 不一定恒为零B. 在 E 上，f(z)geq 0C. 在 E 上，f(z)equiv 0D. 在 E 上，f(z)neq 0
设 $E$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中的可测集，$f(x)$ 为 $E$ 上的可测函数，若 $\int_{E} f(x)\, dx = 0$，则（）
A. 在 $E$ 上，$f(z)$ 不一定恒为零
B. 在 $E$ 上，$f(z)\geq 0$
C. 在 $E$ 上，$f(z)\equiv 0$
D. 在 $E$ 上，$f(z)\neq 0$
题目解答
答案
A. 在 $E$ 上，$f(z)$ 不一定恒为零
解析
步骤 1：理解积分性质
- 积分 $\int_{E} f(x)\, dx = 0$ 表示函数 $f(x)$ 在集合 $E$ 上的积分值为零。
- 这并不意味着 $f(x)$ 在 $E$ 上处处为零，而是可能在某些区域为正，在另一些区域为负，且这些正负部分的积分值相互抵消。
步骤 2：分析选项
- **A**：$f(x)$ 不一定恒为零，可能在部分区域正负抵消，符合题意。
- **B**：$f(x) \geq 0$ 与条件不符，积分可能为负。
- **C**：$f(x) \equiv 0$ 过于绝对，可能部分区域非零。
- **D**：$f(x) \neq 0$ 排除零值，与积分性质矛盾。
步骤 3：选择正确答案
- 根据上述分析，选项 A 是正确的，因为 $f(x)$ 不一定恒为零，可能在部分区域正负抵消，使得积分值为零。
- 积分 $\int_{E} f(x)\, dx = 0$ 表示函数 $f(x)$ 在集合 $E$ 上的积分值为零。
- 这并不意味着 $f(x)$ 在 $E$ 上处处为零，而是可能在某些区域为正，在另一些区域为负，且这些正负部分的积分值相互抵消。
步骤 2：分析选项
- **A**：$f(x)$ 不一定恒为零，可能在部分区域正负抵消，符合题意。
- **B**：$f(x) \geq 0$ 与条件不符，积分可能为负。
- **C**：$f(x) \equiv 0$ 过于绝对，可能部分区域非零。
- **D**：$f(x) \neq 0$ 排除零值，与积分性质矛盾。
步骤 3：选择正确答案
- 根据上述分析，选项 A 是正确的，因为 $f(x)$ 不一定恒为零，可能在部分区域正负抵消，使得积分值为零。