题目

P(A)=(1)/(2),P(B)=(1)/(3),P(C)=(1)/(5),P(AB)=(1)/(10),P(AC)=(1)/(15),P(BC)=(1)/(20),P(ABC)=(1)/(30)则(1)P(Acup B)=(); (2)P(overline(AB))=(); (3)P(Acup Bcup C)=();(4)P(overline(ABC))=(); (5)P(overline(ABC))=(); (6)P(overline(AB)cup C)=()

$P(A)=\frac{1}{2},P(B)=\frac{1}{3},P(C)=\frac{1}{5},P(AB)=\frac{1}{10},P(AC)=\frac{1}{15},P(BC)=\frac{1}{20},P(ABC)=\frac{1}{30}$ 则(1)$P(A\cup B)$=(); (2)$P(\overline{AB})$=(); (3)$P(A\cup B\cup C)$=(); (4)$P(\overline{ABC})$=(); (5)$P(\overline{ABC})$=(); (6)$P(\overline{AB}\cup C)$=()

题目解答

答案

(1) $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{10} = \frac{11}{15}$ (2) $P(\overline{AB}) = 1 - P(A \cup B) = \frac{4}{15}$ (3) $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) = \frac{17}{20}$ (4) $P(\overline{ABC}) = 1 - P(ABC) = \frac{29}{30}$ (5) $P(\overline{A} \overline{B} \overline{C}) = 1 - P(A \cup B \cup C) = \frac{3}{20}$ (6) $P(\overline{AB} \cup C) = P(\overline{A \cup B} \cup C) = \frac{7}{20}$ \[ \boxed{ \begin{array}{ll} (1) & \frac{11}{15} \\ (2) & \frac{4}{15} \\ (3) & \frac{17}{20} \\ (4) & \frac{29}{30} \\ (5) & \frac{3}{20} \\ (6) & \frac{7}{20} \\ \end{array} } \]

解析

本题考查概率的加法公式（容斥原理）和德摩根定律的应用，涉及多个事件的并集、交集及补集的概率计算。解题核心思路如下：

  1. 并集概率：利用容斥原理展开，注意减去重复计算的交集部分；
  2. 补集概率：通过德摩根定律转化为对应并集或交集的补集，再用$1$减去原事件概率；
  3. 多事件组合：灵活拆分复杂事件为基本事件的组合，逐步计算。

第（1）题

关键公式：
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$
代入数据：
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{10} = \frac{15}{30} + \frac{10}{30} - \frac{3}{30} = \frac{22}{30} = \frac{11}{15}$

第（2）题

关键公式：
$P(\overline{AB}) = 1 - P(A \cup B)$
代入数据：
$1 - \frac{11}{15} = \frac{4}{15}$

第（3）题

关键公式：
$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)$
代入数据：
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{10} - \frac{1}{15} - \frac{1}{20} + \frac{1}{30} = \frac{30}{60} + \frac{20}{60} + \frac{12}{60} - \frac{6}{60} - \frac{4}{60} - \frac{3}{60} + \frac{2}{60} = \frac{47}{60} = \frac{17}{20}$

第（4）题

关键公式：
$P(\overline{ABC}) = 1 - P(ABC)$
代入数据：
$1 - \frac{1}{30} = \frac{29}{30}$

第（5）题

关键公式：
$P(\overline{A} \overline{B} \overline{C}) = 1 - P(A \cup B \cup C)$
代入数据：
$1 - \frac{17}{20} = \frac{3}{20}$

第（6）题

关键拆分：
$P(\overline{AB} \cup C) = P(\overline{A \cup B} \cup C) = P(\overline{A \cup B}) + P(C) - P(\overline{A \cup B} \cap C)$
简化计算：
$\overline{A \cup B} \cap C = C \setminus (A \cup B)$，但直接利用已知结果：
$P(\overline{A \cup B} \cup C) = P(\overline{A \cup B}) + P(C) - P(\overline{A \cup B} \cap C) = \frac{4}{15} + \frac{1}{5} - \frac{1}{20} = \frac{7}{20}$