某商店有100台相同型号的冰箱待售，其中60台是甲厂生产的，25台是乙厂生产的，15台是丙厂生产的，已知这三个厂生产的冰箱质量不同，它们的不合格率依次为0.1、0.4、0.2，现有一位顾客从这批冰箱中随机地取了一台，若顾客开箱测试后发现冰箱不合格，则这台冰箱来自甲厂的概率是( ).A (5)/(19)B (6)/(19)C (7)/(19)D (8)/(19)
题目解答
答案
设事件 $ A_1 $、$ A_2 $、$ A_3 $ 分别表示冰箱来自甲、乙、丙厂，事件 $ B $ 表示冰箱不合格。已知：
- $ P(A_1) = \frac{60}{100} = 0.6 $，$ P(A_2) = \frac{25}{100} = 0.25 $，$ P(A_3) = \frac{15}{100} = 0.15 $；
- $ P(B|A_1) = 0.1 $，$ P(B|A_2) = 0.4 $，$ P(B|A_3) = 0.2 $。
由全概率公式，总不合格概率为：
$P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + P(B|A_3)P(A_3) = 0.1 \times 0.6 + 0.4 \times 0.25 + 0.2 \times 0.15 = 0.19$
由贝叶斯定理，甲厂不合格冰箱的概率为：
$P(A_1|B) = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)} = \frac{0.1 \times 0.6}{0.19} = \frac{0.06}{0.19} = \frac{6}{19}$
答案： $\boxed{\frac{6}{19}}$
解析
考查要点：本题主要考查条件概率和贝叶斯定理的应用，需要结合全概率公式进行计算。
解题核心思路：
- 确定事件关系：将问题转化为已知不合格的情况下，来自甲厂的概率，即求后验概率。
- 应用全概率公式计算总不合格概率，再通过贝叶斯定理求解目标概率。
- 关键点在于正确代入各厂的先验概率和条件概率，并准确计算分子和分母。
步骤1：定义事件与已知条件
- 设事件 $A_1$、$A_2$、$A_3$ 分别表示冰箱来自甲、乙、丙厂，事件 $B$ 表示冰箱不合格。
- 先验概率：
$P(A_1) = \frac{60}{100} = 0.6, \quad P(A_2) = \frac{25}{100} = 0.25, \quad P(A_3) = \frac{15}{100} = 0.15$ - 条件概率（不合格率）：
$P(B|A_1) = 0.1, \quad P(B|A_2) = 0.4, \quad P(B|A_3) = 0.2$
步骤2：计算总不合格概率 $P(B)$
根据全概率公式：
$\begin{aligned}P(B) &= P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + P(B|A_3)P(A_3) \\&= 0.1 \times 0.6 + 0.4 \times 0.25 + 0.2 \times 0.15 \\&= 0.06 + 0.1 + 0.03 = 0.19\end{aligned}$
步骤3：应用贝叶斯定理求 $P(A_1|B)$
$P(A_1|B) = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)} = \frac{0.1 \times 0.6}{0.19} = \frac{0.06}{0.19} = \frac{6}{19}$