题目
五、设袋中有2只红球和3只白球,5个人轮流摸球,每人摸出2-|||-只球,然后将球放回袋中山下一个人摸,求5个人总共摸到红球数的数-|||-学期望和方差
题目解答
答案
本题考查了离散型随机变量的期望与方差，要掌握常见的期望与方差的计算公式，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题.
由题意，设$X$表示总共摸到红球的只数，$Y$表示每人摸到红球的只数，根据超几何分布的期望与方差公式求出$E\left(Y\right)$，$D\left(Y\right)$，由$X\sim B\left(5,Y\right)$，根据二项分布的期望与方差公式求解即可.
设$X$表示总共摸到红球的只数，$Y$表示每人摸到红球的只数，
由题意可知，$Y～B(2，\frac{2}{5})$，$X\sim B\left(5,Y\right)$，
所以$E\left(Y\right)=2\times \frac{2}{5}=\frac{4}{5}$，$D\left(Y\right)=2\times \frac{2}{5}×(1-\frac{2}{5})=\frac{12}{25}$，
则$E\left(X\right)=5E\left(Y\right)=5\times \frac{4}{5}=4$，
$D\left(X\right)=5D\left(Y\right)=5\times \frac{12}{25}=\frac{12}{5}$.
所以$5$个人总共摸到红球数的数学期望和方差分别为$4$和$\frac{12}{5}$.
由题意，设$X$表示总共摸到红球的只数，$Y$表示每人摸到红球的只数，根据超几何分布的期望与方差公式求出$E\left(Y\right)$，$D\left(Y\right)$，由$X\sim B\left(5,Y\right)$，根据二项分布的期望与方差公式求解即可.
设$X$表示总共摸到红球的只数，$Y$表示每人摸到红球的只数，
由题意可知，$Y～B(2，\frac{2}{5})$，$X\sim B\left(5,Y\right)$，
所以$E\left(Y\right)=2\times \frac{2}{5}=\frac{4}{5}$，$D\left(Y\right)=2\times \frac{2}{5}×(1-\frac{2}{5})=\frac{12}{25}$，
则$E\left(X\right)=5E\left(Y\right)=5\times \frac{4}{5}=4$，
$D\left(X\right)=5D\left(Y\right)=5\times \frac{12}{25}=\frac{12}{5}$.
所以$5$个人总共摸到红球数的数学期望和方差分别为$4$和$\frac{12}{5}$.
解析
步骤 1：定义随机变量
设$X$表示总共摸到红球的只数，$Y$表示每人摸到红球的只数。
步骤 2：确定$Y$的分布
由于每人摸出2只球，然后将球放回袋中，所以每次摸球是独立的，且每次摸到红球的概率为$\frac{2}{5}$。因此，$Y$服从二项分布$B(2, \frac{2}{5})$。
步骤 3：计算$Y$的期望和方差
根据二项分布的期望和方差公式，有$E(Y) = np = 2 \times \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$，$D(Y) = np(1-p) = 2 \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{12}{25}$。
步骤 4：确定$X$的分布
由于5个人轮流摸球，每人摸到红球的只数独立同分布，所以$X$服从二项分布$B(5, \frac{4}{5})$。
步骤 5：计算$X$的期望和方差
根据二项分布的期望和方差公式，有$E(X) = np = 5 \times \frac{4}{5} = 4$，$D(X) = np(1-p) = 5 \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{12}{5}$。
设$X$表示总共摸到红球的只数，$Y$表示每人摸到红球的只数。
步骤 2：确定$Y$的分布
由于每人摸出2只球，然后将球放回袋中，所以每次摸球是独立的，且每次摸到红球的概率为$\frac{2}{5}$。因此，$Y$服从二项分布$B(2, \frac{2}{5})$。
步骤 3：计算$Y$的期望和方差
根据二项分布的期望和方差公式，有$E(Y) = np = 2 \times \frac{2}{5} = \frac{4}{5}$，$D(Y) = np(1-p) = 2 \times \frac{2}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{12}{25}$。
步骤 4：确定$X$的分布
由于5个人轮流摸球，每人摸到红球的只数独立同分布，所以$X$服从二项分布$B(5, \frac{4}{5})$。
步骤 5：计算$X$的期望和方差
根据二项分布的期望和方差公式，有$E(X) = np = 5 \times \frac{4}{5} = 4$，$D(X) = np(1-p) = 5 \times \frac{4}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{12}{5}$。