题目
3 单选 (4分)极限 lim _(xarrow 1)dfrac (x-1)(|x-1|) 的结果是 ()-|||-⊙ A.0-|||-C B.不存在-|||-C C.1-|||-D. -1
题目解答
答案
B. 不存在
解析
步骤 1：分析极限的定义
极限 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x-1}{|x-1|}$ 表示当 $x$ 趋近于 $1$ 时，函数 $\dfrac {x-1}{|x-1|}$ 的值趋向于某个确定的值。为了确定这个值，我们需要分别考虑 $x$ 从左侧和右侧趋近于 $1$ 的情况。
步骤 2：考虑 $x$ 从右侧趋近于 $1$
当 $x$ 从右侧趋近于 $1$ 时，$x-1$ 是正数，因此 $|x-1|=x-1$。所以，$\lim _{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac {x-1}{|x-1|}=\lim _{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac {x-1}{x-1}=1$。
步骤 3：考虑 $x$ 从左侧趋近于 $1$
当 $x$ 从左侧趋近于 $1$ 时，$x-1$ 是负数，因此 $|x-1|=-(x-1)$。所以，$\lim _{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac {x-1}{|x-1|}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac {x-1}{-(x-1)}=-1$。
步骤 4：判断极限是否存在
由于 $\lim _{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac {x-1}{|x-1|}=1$ 和 $\lim _{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac {x-1}{|x-1|}=-1$，两个单侧极限不相等，因此 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x-1}{|x-1|}$ 不存在。
极限 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x-1}{|x-1|}$ 表示当 $x$ 趋近于 $1$ 时，函数 $\dfrac {x-1}{|x-1|}$ 的值趋向于某个确定的值。为了确定这个值，我们需要分别考虑 $x$ 从左侧和右侧趋近于 $1$ 的情况。
步骤 2：考虑 $x$ 从右侧趋近于 $1$
当 $x$ 从右侧趋近于 $1$ 时，$x-1$ 是正数，因此 $|x-1|=x-1$。所以，$\lim _{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac {x-1}{|x-1|}=\lim _{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac {x-1}{x-1}=1$。
步骤 3：考虑 $x$ 从左侧趋近于 $1$
当 $x$ 从左侧趋近于 $1$ 时，$x-1$ 是负数，因此 $|x-1|=-(x-1)$。所以，$\lim _{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac {x-1}{|x-1|}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac {x-1}{-(x-1)}=-1$。
步骤 4：判断极限是否存在
由于 $\lim _{x\rightarrow 1^{+}}\dfrac {x-1}{|x-1|}=1$ 和 $\lim _{x\rightarrow 1^{-}}\dfrac {x-1}{|x-1|}=-1$，两个单侧极限不相等，因此 $\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x-1}{|x-1|}$ 不存在。