题目
当x to 0时，1 - cos x与x^2的关系是()A. 同阶无穷小B. 高阶无穷小C. 低阶无穷小D. 等阶无穷小
当$x \to 0$时，$1 - \cos x$与$x^2$的关系是()
A. 同阶无穷小
B. 高阶无穷小
C. 低阶无穷小
D. 等阶无穷小
题目解答
答案
A. 同阶无穷小
解析
步骤 1：泰勒级数展开
回忆余弦函数在 $ x = 0 $ 附近的泰勒级数展开： \[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots \]
步骤 2：计算 $ 1 - \cos x $
从这个展开式中，我们可以表示 $ 1 - \cos x $ 为： \[ 1 - \cos x = 1 - \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots\right) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \cdots \]
步骤 3：分析无穷小阶数
当 $ x \to 0 $ 时，高阶项 $ \frac{x^4}{24}, \cdots $ 相比于 $ \frac{x^2}{2} $ 变得可以忽略。因此，我们可以近似： \[ 1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2} \] 这表明 $ 1 - \cos x $ 在 $ x \to 0 $ 时与 $ \frac{x^2}{2} $ 是同阶无穷小。由于 $ \frac{x^2}{2} $ 是 $ x^2 $ 的常数倍，我们可以得出结论， $ 1 - \cos x $ 与 $ x^2 $ 是同阶无穷小。
回忆余弦函数在 $ x = 0 $ 附近的泰勒级数展开： \[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots \]
步骤 2：计算 $ 1 - \cos x $
从这个展开式中，我们可以表示 $ 1 - \cos x $ 为： \[ 1 - \cos x = 1 - \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots\right) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \cdots \]
步骤 3：分析无穷小阶数
当 $ x \to 0 $ 时，高阶项 $ \frac{x^4}{24}, \cdots $ 相比于 $ \frac{x^2}{2} $ 变得可以忽略。因此，我们可以近似： \[ 1 - \cos x \approx \frac{x^2}{2} \] 这表明 $ 1 - \cos x $ 在 $ x \to 0 $ 时与 $ \frac{x^2}{2} $ 是同阶无穷小。由于 $ \frac{x^2}{2} $ 是 $ x^2 $ 的常数倍，我们可以得出结论， $ 1 - \cos x $ 与 $ x^2 $ 是同阶无穷小。