题目

若实对称矩阵与矩阵合同，则二次型的规范形为( )。A.B.C.D.

若实对称矩阵 $A$ 与矩阵 $B=\begin{pmatrix} 0&0&0 \newline 0&2&1 \newline 0&1&2 \end{pmatrix}$ 合同，则二次型 $x^TAx$ 的规范形为( )。

A. $2 z_1^2+z_2^2$

B. $z_1^2+2z_2^2$

C. $z_1^2+z_2^2+z_3^2$

D. $z_1^2+z_2^2$

题目解答

答案

∵实对称矩阵 $A$ 与矩阵 $B=\begin{pmatrix} 0&0&0 \newline 0&2&1 \newline 0&1&2 \end{pmatrix}$ 合同

∴ $A$ 与 $B$ 有同样的正、负惯性指数

设矩阵方程： $\begin{vmatrix} B-\lambda E \end{vmatrix}=0$ ；

可得： $\begin{vmatrix} -\lambda&0&0 \newline 0&2 -\lambda&1 \newline 0&1&2 -\lambda \end{vmatrix}=0$ ；

用第一行的代数余子式表示可得：

$-\lambda\begin{vmatrix} 2 -\lambda&1 \newline 1&2 -\lambda \end{vmatrix}=0$ ；

计算二阶行列式可得：

$-\lambda[( 2 -\lambda)^2-1]=0$ ；

化简可得： $-\lambda[\lambda^2-4\lambda+3]=0$ ；

解得特征值分别为：0、1、3；

故正惯性指数为2，负惯性指数为0；

∴二次型 $x^TAx$ 的规范形的正惯性指数也为2，负惯性指数为0，故规范形的系数为1、1、0；

∴二次型 $x^TAx$ 的规范形为： $z_1^2+z_2^2$ ；

本题的答案是：D。

解析

考查要点：本题主要考查实对称矩阵合同的性质、二次型规范形的求解方法，以及惯性定理的应用。

解题核心思路：

合同矩阵的惯性指数相同：实对称矩阵合同的充要条件是它们有相同的正、负惯性指数。
通过特征值确定惯性指数：实对称矩阵的正负惯性指数可通过其特征值的正负个数确定。
规范形的构造：规范形由正惯性指数和负惯性指数决定，正项系数为1，负项系数为-1，其余省略。

破题关键点：

正确求解矩阵的特征值。
根据特征值的正负确定惯性指数。
根据惯性指数写出规范形。

步骤1：确定矩阵的特征值
设矩阵方程为 $|A - \lambda I| = 0$，展开行列式：
$-\lambda \left[ (2-\lambda)^2 - 1 \right] = 0$
化简得：
$-\lambda (\lambda^2 - 4\lambda + 3) = 0$
解得特征值为 $\lambda = 0, 1, 3$。

步骤2：分析惯性指数

正惯性指数：特征值中正数的个数为2（1和3）。
负惯性指数：特征值中负数的个数为0。

步骤3：构造规范形
根据惯性定理，规范形中正项系数为1，负项系数为-1，其余省略。因此规范形为：
$z_1^2 + z_2^2$