证明：当x>1时，ln x+dfrac (4)(x+1)-2gt 0 0" data-width="196" data-height="46" data-size="2112" data-format="png" style="max-width:100%">

考查要点：本题主要考查利用导数证明函数在区间上的不等式，涉及函数单调性的分析。

解题核心思路：构造函数$f(x)=\ln x+\dfrac{4}{x+1}-2$，通过求导分析其单调性，结合初始值$f(1)=0$，证明当$x>1$时$f(x)>0$。

破题关键点：

1. 构造函数：将不等式转化为函数形式，便于分析。
2. 求导判断单调性：通过导数$f'(x)$的符号确定函数单调性。
3. 极值点与初始值：结合$x=1$处的函数值，推导整体趋势。

步骤1：构造函数
设$f(x)=\ln x+\dfrac{4}{x+1}-2$，需证明当$x>1$时$f(x)>0$。

步骤2：求导分析单调性
计算导数：
$f'(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{4}{(x+1)^2}$
通分后化简：
$f'(x)=\dfrac{(x-1)^2}{x(x+1)^2}$
关键结论：当$x>1$时，分母$x(x+1)^2>0$，分子$(x-1)^2\geq0$，故$f'(x)\geq0$，且仅当$x=1$时$f'(x)=0$。因此，$f(x)$在$x>1$时单调递增。

步骤3：计算初始值
当$x=1$时：
$f(1)=\ln1+\dfrac{4}{2}-2=0+2-2=0$

步骤4：结合单调性与初始值
由于$f(x)$在$x>1$时单调递增，且$f(1)=0$，故当$x>1$时，$f(x)>f(1)=0$。