lim _(xarrow +infty )(sqrt ({x)^2+2x}-x);

考查要点：本题主要考查无穷大极限的计算，特别是处理形如$\sqrt{x^2 + ax} - x$的不定型极限的方法。

解题核心思路：当直接代入$x \rightarrow +\infty$导致“$\infty - \infty$”型不定式时，需通过分子有理化（即乘以共轭表达式）将表达式变形，消除不定式，再结合无穷大等价无穷小的近似或分母分子同除以最高次项的方法求解。

破题关键点：

1. 分子有理化：将原式乘以$\sqrt{x^2 + 2x} + x$，构造平方差公式。
2. 化简表达式：通过约分和代数变形，将极限转化为可直接计算的形式。
3. 无穷大近似：当$x \rightarrow +\infty$时，$\sqrt{x^2 + 2x} \approx x + 1$，简化分母。

步骤1：分子有理化
原式为：
$\lim _{x\rightarrow +\infty }(\sqrt {{x}^{2}+2x}-x)$
将分子和分母同时乘以共轭表达式$\sqrt{x^2 + 2x} + x$：
$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow +\infty }(\sqrt {{x}^{2}+2x}-x) &= \lim _{x\rightarrow +\infty } \frac{(\sqrt{x^2 + 2x} - x)(\sqrt{x^2 + 2x} + x)}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} \\&= \lim _{x\rightarrow +\infty } \frac{(x^2 + 2x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} \\&= \lim _{x\rightarrow +\infty } \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} + x}\end{aligned}$

步骤2：化简分母
将分子和分母同时除以$x$（注意$x > 0$时，$\sqrt{x^2} = x$）：
$\begin{aligned}\lim _{x\rightarrow +\infty } \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} &= \lim _{x\rightarrow +\infty } \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1}\end{aligned}$

步骤3：代入极限
当$x \rightarrow +\infty$时，$\frac{2}{x} \rightarrow 0$，因此：
$\sqrt{1 + \frac{2}{x}} \rightarrow \sqrt{1 + 0} = 1$
代入得：
$\lim _{x\rightarrow +\infty } \frac{2}{1 + 1} = \frac{2}{2} = 1$