题目
5.(计算题，22分)设A=(}4&2&31&1&0-1&2&3)，且AB=A+2B，求B.
5.(计算题，22分)
设$A=\left(\begin{matrix}4&2&3\\1&1&0\\-1&2&3\end{matrix}\right)$，且$AB=A+2B$，求B.
题目解答
答案
设 $ A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{pmatrix} $，由 $ AB = A + 2B $ 得 $ (A - 2E)B = A $。
计算 $ A - 2E = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix} $，其行列式 $ \det(A - 2E) = -1 \neq 0 $，故可逆。
求得 $ (A - 2E)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 \\ 1 & -5 & -3 \\ -1 & 6 & 4 \end{pmatrix} $。
因此，$ B = (A - 2E)^{-1}A = \boxed{\begin{pmatrix} 3 & -8 & -6 \\ 2 & -9 & -6 \\ -2 & 12 & 9 \end{pmatrix}} $。
解析
考查要点：本题主要考查矩阵方程的求解，涉及矩阵运算、逆矩阵的应用以及方程变形能力。
解题核心思路：将原方程$AB = A + 2B$进行变形，提取出矩阵$B$，转化为$(A - 2E)B = A$的形式。关键点在于验证矩阵$A - 2E$是否可逆，若可逆则通过求逆矩阵得到$B$的表达式。
破题关键：
- 方程变形：将方程整理为$(A - 2E)B = A$。
- 可逆性判断：计算矩阵$A - 2E$的行列式，确认其可逆性。
- 逆矩阵应用：利用逆矩阵求解$B = (A - 2E)^{-1}A$。
步骤1：方程变形
原方程$AB = A + 2B$，移项得：
$AB - 2B = A \implies (A - 2E)B = A$
其中$E$为单位矩阵。
步骤2：验证矩阵可逆性
计算$A - 2E$：
$A - 2E = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$
计算行列式$\det(A - 2E)$：
$\det(A - 2E) = 2 \cdot [(-1)(1) - 0 \cdot 2] - 2 \cdot [1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)] + 3 \cdot [1 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1)] = -1 \neq 0$
因此，$A - 2E$可逆。
步骤3：求逆矩阵
通过行变换或伴随矩阵法求得：
$(A - 2E)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & -3 \\ 1 & -5 & -3 \\ -1 & 6 & 4 \end{pmatrix}$
步骤4：求解$B$
将逆矩阵与$A$相乘：
$B = (A - 2E)^{-1}A = \begin{pmatrix} 3 & -8 & -6 \\ 2 & -9 & -6 \\ -2 & 12 & 9 \end{pmatrix}$