(2)lim_(ntoinfty)cos(x)/(2)cos(x)/(4)...cos(x)/(2^n).
题目解答
答案
考虑乘积 $\cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4} \cdots \cos \frac{x}{2^n}$，利用恒等式 $\sin x = 2^n \sin \frac{x}{2^n} \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4} \cdots \cos \frac{x}{2^n}$，可得
$\cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4} \cdots \cos \frac{x}{2^n} = \frac{\sin x}{2^n \sin \frac{x}{2^n}}.$
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{x}{2^n} \to 0$，利用小角近似 $\sin \theta \approx \theta$，得
$\lim_{n \to \infty} \frac{\sin x}{2^n \sin \frac{x}{2^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sin x}{x} = \frac{\sin x}{x}.$
对于 $x = 0$，极限为 1（由 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$）。
答案：
$\boxed{\begin{cases} \frac{\sin x}{x} & x \neq 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases}}$
解析
考查要点：本题主要考查无穷乘积的极限计算，涉及三角恒等式的应用及小角近似。
解题核心思路：
- 利用正弦的倍角公式，将原乘积表达式转化为包含$\sin x$的形式，从而简化计算。
- 小角近似：当角度趋近于0时，$\sin \theta \approx \theta$，用于处理极限中的分母部分。
- 分段讨论：特别注意$x=0$时的极限值，需单独分析。
破题关键点：
- 识别恒等式：通过递推倍角公式，将乘积与$\sin x$关联。
- 极限处理：结合无穷项和小角近似，将复杂乘积转化为简单表达式。
步骤1：应用正弦倍角公式
由正弦倍角公式递推可得：
$\sin x = 2^n \sin \frac{x}{2^n} \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4} \cdots \cos \frac{x}{2^n}$
因此，原乘积可表示为：
$\cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4} \cdots \cos \frac{x}{2^n} = \frac{\sin x}{2^n \sin \frac{x}{2^n}}$
步骤2：计算极限
当$n \to \infty$时，$\frac{x}{2^n} \to 0$，利用小角近似$\sin \theta \approx \theta$，得：
$\sin \frac{x}{2^n} \approx \frac{x}{2^n}$
代入原式：
$\lim_{n \to \infty} \frac{\sin x}{2^n \cdot \frac{x}{2^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sin x}{x} = \frac{\sin x}{x}$
步骤3：分段讨论
- 当$x \neq 0$时：极限值为$\frac{\sin x}{x}$。
- 当$x = 0$时：原乘积中每一项均为$\cos 0 = 1$，故极限值为$1$。