11-34 用一毫米内有500条刻痕的平面透射光栅观察钠光谱 (lambda =()-|||-589nm),设透镜焦距 =1.00m. 问:(1)光线垂直入射时,最多能看到第几级光-|||-谱?`(2)光线以入射角30°入射时,最多能看到第几级光谱?(3)若用白光垂-|||-直照射光栅,第一级光谱的线宽度是多少?

步骤 1：计算光栅常量
光栅常量 $d$ 可以通过刻痕数 $N$ 和光栅宽度计算得到。给定光栅宽度为 $1mm$，刻痕数为 $500$，则光栅常量 $d$ 为：
$$
d = \frac{10^{-3}m}{500} = 2 \times 10^{-6}m
$$
步骤 2：光线垂直入射时的衍射条件
光线垂直入射时，光栅衍射明纹的条件为 $d\sin \varphi = \pm k\lambda$。令 $\sin \varphi = 1$，可得：
$$
k_m = \pm \frac{d}{\lambda} = \pm \frac{2 \times 10^{-6}m}{589 \times 10^{-9}m} = \pm 3.39
$$
取整数 $k_m = 3$，即最多能看到第三级光谱。
步骤 3：光线倾斜入射时的衍射条件
光线倾斜入射时，光栅明纹的条件为 $d(\sin i - \sin \varphi) = \pm k\lambda$。令 $\sin \varphi = 1$，可求得位于中央主极大两侧，能观察到条纹的最大 $k_m$ 值分别为 $k_{m1} = 5$ 和 $k_{m2} = 1$（已取整数值）。故在法线两侧能观察到的最大级次分别为五级和一级。
步骤 4：计算第一级光谱的线宽度
白光的波长范围为 $400nm \sim 760nm$，用白光垂直照射时，由 $d\sin \varphi = k\lambda$ 可得第一级 (k=1) 光谱在屏上的位置。对应于 $\lambda_1 = 400nm$ 和 $\lambda_2 = 760nm$ 的明纹的衍射角为 $\varphi_1 = \arcsin \frac{\lambda_1}{d}$ 和 $\varphi_2 = \arcsin \frac{\lambda_2}{d}$，利用 $\tan \varphi = \frac{x}{f}$ 可得明纹的位置为 $x_1 = f\tan \varphi_1 = 0.2m$ 和 $x_2 = f\tan \varphi_2 = 0.41m$。则第一级光谱的线宽度为：
$$
\Delta x = x_2 - x_1 = 0.41m - 0.2m = 0.21m
$$